课时作业6 二次函数与幂函数。
一、选择题。
1．(2015·九江七校联考)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中abc＜0，则函数图象可能是( )abcd
解析：当a＜0时，开口向下，因为abc＜0，所以b，c同号．
对于a图象可知c＞0，则b＞0，所以－＞0，a错；
由b图可知c＜0，故b＜0，所以－＜0，即函数的对称轴在y轴左侧，b错；
当a＞0时，因为abc＜0，所以b，c异号，由c，d图象可知c＜0，故b＞0，所以－＜0，即函数的对称轴在y轴左侧，故选c.
答案：c2．(2015·湖北孝感调研)函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在(0，＋∞上为增函数，则实数m的值是( )
a．－1b．2
c．3 d．－1或2
解析：f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数m2－m－1＝1m＝－1或m＝2.
又f(x)在(0，＋∞上是增函数，所以m＝2.
答案：b3．(2014·山东威海一模)若a＞b，则下列不等式成立的是( )
a．lna＞lnb b．0.3a＞0.3b
c．a＞b d.＞
解析：取a＝2，b＝－1，可知lnb，b无意义，故a，c错；
y＝0.3x是减函数，又a＞b，则0.3a＜0.3b，故b错；
y＝x在(－∞是增函数，又a＞b，则a＞b，即＞成立，故选d.
答案：d4．设b＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为( )
a．1 b．－1
c. d.
解析：∵b＞0，∴图象①②不可能，又∵③④过原点．∴f(0)＝0，即a2－1＝0，a＝±1，又b＞0，如 a＝1，－＜0与③④图形矛盾．∴a＝－1.
答案：b5．(2014·安徽卷)设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( )
a．b＜a＜c b．c＜a＜b
c．c＜b＜a d．a＜c＜b
解析：因为2＞a＝log37＞1，b＝21.1＞2，c＝0.83.1＜1，所以c＜a＜b.
答案：b6．(2014·北京西城期末)定义域为r的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x2－x，则当x∈[－1,0)时，f(x)的最小值为( )
a．－ b．－
c．0 d.
解析：设x∈[－1,0]，则x＋1∈[0,1]，则f(x＋1)＝(x＋1)2－(x＋1)，f(x＋1)＝2f(x)，∴f(x)＝(x2＋x)．
当x＝－时，取到最小值为－.
答案：a二、填空题。
7．(2014·株洲模拟)如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为。
解析：由已知得解得。
所以f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5，x∈[－4,6]．
故f(x)min＝f(1)＝5.
答案：58．(2014·江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是。
解析：根据题意，得。
解得－＜m＜0.
答案：9．(2015·江苏南通二调)若不等式(mx－1)[3m2－(x＋1)m－1]≥0对任意m∈(0，＋∞恒成立，则实数x的值为。
解析：根据题意可令f(m)＝xm－1，易得图象恒过点(0，－1)，令f(m)＝0，可得m＝.又令g(m)＝3m2－(x＋1)m－1，易得图象恒过点(0，－1)，要使不等式(mx－1)[3m2－(x＋1)m－1]≥0对任意m∈(0，＋∞恒成立，则要满足代入可得x＝1.
答案：1三、解答题。
10．已知函数f(x)＝x2＋2x·tanθ－1，x∈，其中θ∈.
1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值；
2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间上是单调函数．
解析：(1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1＝2－，x∈，x＝时，f(x)的最小值为－.
x＝－1时，f(x)的最大值为。
2)函数f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ，y＝f(x)在区间上是单调函数，－tanθ≤－1或－tanθ≥，即tanθ≥1或tanθ≤－
因此，θ的取值范围是∪.
11．(2015·汕头四中月考)已知函数f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值为12.
1)求f(x)的解析式；
2)设函数f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
解析：(1)因为f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5)，所以可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)．
所以f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.
由已知，得6a＝12，所以a＝2.
所以f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈r)．
2)由(1)知f(x)＝2x2－10x＝22－，开口向上，对称轴为x＝，当t＋1≤，即t≤时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，所以g(t)＝2(t＋1)2－10(t＋1)＝2t2－6t－8；
当t≥时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以g(t)＝2t2－10t；
当t＜＜t＋1，即＜t＜时，f(x)在对称轴处取得最小值，所以g(t)＝f＝－.
综上所述，g(t)＝
12．(2015·银川质检)已知f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.
1)求f(x)的解析式；
2)是否存在整数m，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等实数根？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．
解析：(1)∵f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5)，可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)．
f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.
由已知，得6a＝12，a＝2，f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈r)．
2)方程f(x)＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0.
设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)．
当x∈时，h′(x)＜0，h(x)是减函数．
当x∈时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．
h(3)＝1＞0，h＝－＜0，h(4)＝5＞0，方程h(x)＝0在区间，内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞内没有实数根．
存在唯一的整数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不同的实数根．
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