课时作业10 函数与方程。
一、选择题。
1．(2015·东北三校联考)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则( )
a．a＜b＜cb．c＜b＜a
c．c＜a＜b d．b＜a＜c
解析：在同一平面直角坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－，y＝－x的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a＜b＜c.
答案：a2．(2014·山东青岛一模)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内的零点个数是( )
a．0 b．1
c．2 d．3
解析：由指数函数、幂函数的性质可知，f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内单调递增，且f(0)＝－1＜0，f(2)＝10＞0，所以f(0)·f(2)＜0，即函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选b.
答案：b3．(2015·河北唐山期末)f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为( )
a．4 b．5
c．6 d．7
解析：∵2sinπx－x＋1＝0，∴2sinπx＝x－1.
令h(x)＝2sinπx，g(x)＝x－1，f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数转化为求两个函数图象的交点个数．
h(x)＝2sinπx的周期t＝＝2，分别画出两个函数的图象，如图所示，h(1)＝g(1)，h＞g，g(4)＝3＞2，g(－2)＝－3＜－2，可知两个函数图象的交点一共5个，∴f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为5.
答案：b4．(2014·山东威海一模)已知a＞1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则mn的最大值为( )
a．8 b．4
c．2 d．1
解析：由f(x)＝ax＋x－4＝0，得ax＝4－x，函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，即y＝ax，y＝4－x的图象相交于点(m,4－m)；
由g(x)＝logax＋x－4＝0，得logax＝4－x，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，即y＝logax，y＝4－x的图象相交于点(n,4－n)．
因为y＝ax，y＝logax互为反函数，则(m,4－m)与(n,4－n)关于直线y＝x对称，所以m＝4－n，即m＋n＝4，且m＞0，n＞0.
由mn≤2＝4，当且仅当m＝n＝2时“＝”成立，所以mn的最大值为4.故选b.
答案：b5．(2014·山东德州二模)若函数f(x)满足f(x)＋1＝，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间(－1,1]上，g(x)＝f(x)－mx－2m有两个零点，则实数m的取值范围是( )
a．0＜m≤ b．0＜m＜
c.＜m≤1 d.＜m＜1
解析：g(x)＝f(x)－mx－2m有两个零点，即曲线y＝f(x)，y＝mx＋2m有两个交点．
令x∈(－1,0)，则x＋1∈(0,1)，所以f(x＋1)＝＝x＋1，f(x)＝－1.
在同一平面直角坐标系中，画出y＝f(x)，y＝mx＋2m的图象(如图所示)，直线y＝mx＋2m过定点(－2,0)，所以m满足0＜m≤，即0＜m≤，故选a.
答案：a6．(2014·河北石家庄调研)已知函数f(x)＝则方程f(x)＝ax恰有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是(注：e为自然对数的底数)(
a. b.
c. d.
解析：因为方程f(x)＝ax恰有两个不同的实数根，所以y＝f(x)与y＝ax有2个交点．
因为a表示直线y＝ax的斜率，当x＞1时，y′＝f′(x)＝，设切点坐标为(x0，y0)，k＝，所以切线方程为y－y0＝(x－x0)，而切线过原点，所以y0＝1，x0＝e，k＝.
所以直线l1的斜率为，直线l2与y＝x＋1平行．
所以直线l2的斜率为，所以实数a的取值范围是。
答案：b二、填空题。
7．(2014·上海长宁质检)设a为非零实数，偶函数f(x)＝x2＋a|x－m|＋1(x∈r)在区间(2,3)上存在唯一零点，则实数a的取值范围是。
解析：由函数f(x)为偶函数可得m＝0，即f(x)＝x2＋a|x|＋1，f(x)在区间(2,3)上存在唯一零点，由零点存在定理可得f(2)·f(3)＜0，从而(5＋2a)(10＋3a)＜0，解得－＜a＜－.
答案：8．(2015·皖北协作区联考)已知函数f(x)＝若关于x的函数g(x)＝f(x)－m有两个零点，则实数m的取值范围是。
解析：g(x)＝f(x)－m有两个零点，等价于函数f(x)与函数y＝m的图象有两个交点，作出函数的图象如下：
由图可知m的取值范围是(1,2]．
答案：(1,2]
9．(2014·江苏卷)已知f(x)是定义在r上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝|x2－2x＋|.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是。
解析：作出函数f(x)＝|x2－2x＋|，x∈[0,3)的图象(如图)，f(0)＝，当x＝1时，f(x)极大值＝，f(3)＝，方程f(x)－a＝0在[－3,4]上有10个根，即函数y＝f(x)的图象和直线y＝a在[－3,4]上有10个交点．由于函数f(x)的周期为3，则直线y＝a与f(x)的图象在[0,3)上应有4个交点，因此有a∈.
答案：三、解答题。
10．(2014·郑州模拟)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数f(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．
1)若m＝－1，n＝2，求不等式f(x)＞0的解集；
2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．
解析：(1)由题意知，f(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)，当m＝－1，n＝2时，不等式f(x)＞0即为。
a(x＋1)(x－2)＞0.
当a＞0时，不等式f(x)＞0的解集为；
当a＜0时，不等式f(x)＞0的解集为．
2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m
(x－m)(ax－an＋1)，a＞0，且0＜x＜m＜n＜，x－m＜0,1－an＋ax＞0，f(x)－m＜0，即f(x)＜m.
11．(2015·深圳调研)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为．
1)求函数f(x)的解析式；
2)求函数g(x)＝－4lnx的零点个数．
解析：(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为，f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a＞0.
f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
2)∵g(x)＝－4lnx＝x－－4lnx－2(x＞0)，g′(x)＝1＋－＝
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：
当0＜x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4＜0.
又因为g(x)在(3，＋∞单调递增，因而g(x)在(3，＋∞上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞只有1个零点．
12．(2015·呼伦贝尔调研)已知f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，a∈r)．
1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
2)如果函数y＝f(x)恰有两个不同的零点，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋x－5
由解得x≥2；
由解得x≤－4.
所以f(x)≥0的解集为．
2)由f(x)＝0，得|2x－1|＝－ax＋5.
作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的图象，观察可以知道，当－2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y＝f(x)有两个不同的零点．
故a的取值范围是(－2,2)．
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