课时跟踪检测（十一） 函数与方程。
一抓基础，多练小题做到眼疾手快。
1．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是___
解析：由题意知，f(－1)·f(1)<0，即(1－a)(1＋a)<0，解得a<－1或a>1.
答案：(－1)∪(1，＋∞
2．函数f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是___
解析：函数f(x)在上是单调函数，又f＝3>0，则根据零点存在性定理，应满足f(1)＝4a＋3<0，解得a<－.
答案：3．(2016·镇江调研)设函数f(x)＝则方程xf(x)－1＝0根的个数为___
解析：问题转化为求方程f(x)＝解的个数，作出函数y＝f(x)与y＝的图象，如图所示．
当x<7时，由图象可知解的个数为6.当x≥7时，f(x)《恒成立，即f(x)＝无解，所以根的个数为6.
答案：64．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为___
解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.
答案：－5．若f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为___
解析：要求函数g(x)＝f(x)－x的零点，即求f(x)＝x的根，或。
解得x＝1＋或x＝1.
g(x)的零点为1＋，1.
答案：1＋，1
二保高考，全练题型做到高考达标。
1．(2016·苏州调研)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是___
解析：问题转化为g(x)＝0，即方程f(x)＝2x有三个不同的解，即或解得或或因为方程f(x)＝2x有三个不同的解，所以解得1答案：(1,2]
2．函数f(x)＝的零点个数为___
解析：法一：由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．
答案：23．(2016·苏锡常镇调研)设m∈n，若函数f(x)＝2x－m－m＋10存在整数零点，则m的取值集合为___
解析：令f(x)＝0，得m＝.因为m∈n，则2x＋10＝0或2x＋10>0，∈z且2x＋10能被＋1整除并且商为自然数，所以有如下几种情况：
当2x＋10＝0，即x＝－5时，m＝0；
当x＝1时，m＝3；
当x＝9时，m＝14；
当x＝10时，m＝30.
综上所述，m的取值集合为．
答案：4．设函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，则函数g(x)＝f(x)－sin x在区间[－π上的零点个数为___
解析：要求函数g(x)＝f(x)－sin x的零点，即求方程f(x)－sin x＝0的根，将其转化为f(x)＝sin x的根，进一步转化为函数y＝f(x)与函数y＝sin x的图象交点的问题．在同一坐标系下，作出两个函数的图象如图所示，可知在区间[－π上有3个交点．
答案：35．(2015·南京三模)已知a，t为正实数，函数f(x)＝x2－2x＋a，且对任意的x∈[0，t]，都有f(x)∈[a，a]．若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为___
解析：因为f(x)＝(x－1)2＋a－1，且f(0)＝f(2)＝a；
当a－1≥－a，即a≥时，此时，恒有[a－1，a][－a，a]，故t∈(0,2]，从而g(a)＝2；
当a－1<－a，即0综上，g(a)的值域为(0,1)∪．
答案：(0,1)∪
6．已知f(x)＝g(x)＝f(x)－x－b有且仅有一个零点时，b的取值范围是___
解析：要使函数g(x)＝f(x)－－b有且仅有一个零点，只需要函数f(x)的图象与函数y＝＋b的图象有且仅有一个交点，通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象(图略)并观察得，要符合题意，须满足b≥1或b＝或b≤0.
答案：(－0]∪[1，＋∞
7．已知0解析：函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)－k＝0有两个解，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点．分k>0和k<0作出函数f(x)的图象．当01或k<0时，没有交点，故当0答案：(0,1)
8．(2015·南通调研)已知函数f(x)是定义在[1，＋∞上的函数，且f(x)＝则函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上的零点个数为___
解析：由题意得，当1≤x<2时，f(x)＝设x∈[2n－1,2n](n∈n*)，则∈[1,2)，又f(x)＝f，当∈时，则x∈[2n－1,3·2n－2]，所以f(x)＝f＝，所以2xf(x)－3＝2x·－3＝0，整理得x2－2·2n－2x－3·22n－4＝0.解得x＝3·2n－2或x＝－2n－2.
由于x∈[2n－1,3·2n－2]，所以x＝3·2n－2；
当∈时，则x∈(3·2n－2,2n)，所以f(x)＝f＝，所以2xf(x)－3＝2x·－3＝0，整理得x2－4·2n－2x＋3·22n－4＝0.解得x＝3·2n－2或x＝2n－2.由于x∈(3·2n－2,2n)，所以无解．
综上所述，x＝3·2n－2.由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.
答案：119．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.
证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
证明：令g(x)＝f(x)－x.
g(0)＝，g＝f－＝－g(0)·g<0.
又函数g(x)在上是连续曲线，存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.
10．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a.
1)判断命题：“对于任意的a∈r，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)“对于任意的a∈r，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题；
依题意f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈r恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．
2)依题意知，要使y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，只需即。
解得故实数a的取值范围为。
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1．已知x∈r，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是___
解析：当01≤x<2时，f(x)＝－a＝－a；
2≤x<3时，f(x)＝－a＝－a；….
f(x)＝－a的图象是把y＝的图象进行纵向平移而得到的，画出y＝的图象，如图所示，通过数形结合可知a∈∪.
答案：∪2．(2016·无锡调研)已知函数y＝f(x)是定义域为r的偶函数，当x≥0时，f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋af(x)＋＝0，a∈r有且仅有8个不同的实数根，则实数a的取值范围是___
解析：作出函数f(x)的图象(如图)．令t＝f(x)，则关于x的方程[f(x)]2＋af(x)＋＝0(a∈r)有且仅有8个不同的实数根可转化为关于x的方程t＝f(x)在r上有4个不同的实数根，由函数图象可知，t∈时关于x的方程t＝f(x)在r上有4个不同的实数根，故可转化为求关于实数t的方程t2＋at＋＝0在t∈内有两个不等实根，令g(t)＝t2＋at＋，则即。
解得答案：3．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为．
1)求函数f(x)的解析式；
2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．
解：(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为，f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.
f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
2)∵g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x>0)，g′(x)＝1＋－＝
令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：
当0又因为g(x)在(3，＋∞上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞上只有1个零点．
故g(x)在(0，＋∞上仅有1个零点．
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