[高考基础题型得分练]
1．[2017·福建厦门模拟]函数f(x)＝2x－的零点所在的大致区间是( )
a. b.
c. d.
答案：b解析：由题意知，函数f(x)在(0，＋∞上单调递增，且f＝2－2＜0，f(1)＝21－1＞0，所以函数的零点在区间内．
2．函数f(x)＝x－x的零点个数为( )
a．0 b．1
c．2 d．3
答案：b解析：因为y＝x在x∈[0，＋∞上单调递增，y＝x在x∈r上单调递减，所以f(x)＝x－x在x∈[0，＋∞上单调递增，又f(0)＝－1＜0，f(1)＝＞0，所以f(x)＝x－x在定义域内有唯一零点．
3．[2017·河南周口二模]已知函数f(x)＝x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值( )
a．恒为正值 b．等于0
c．恒为负值 d．不大于0
答案：a解析：注意到函数f(x)＝x－log3x在(0，＋∞上是减函数，因此当0＜x1＜x0时，有f(x1)＞f(x0)．又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)＝0，所以f(x1)＞0，即此时f(x1)的值恒为正值，故选a.
4．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为( )
a．0 b．－
c．0或－ d．2
答案：c解析：当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．
δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．
5．[2017·湖北七校2月联考]已知f(x)是奇函数并且是r上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
a. b.
c．－ d．－
答案：c解析：令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)，因为f(x)为奇函数，所以－f(λ－x)＝f(x－λ)所以f(2x2＋1)＝f(x－λ)又因为f(x)是r上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ只有一个根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个根，则δ＝1－8(1＋λ)0，解得λ＝－函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点时，实数λ的值为－.
故选c.
6．若定义在r上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点有( )
a．多于4个 b．4个。
c．3个 d．2个。
答案：b解析：∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为2.
当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．
显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选b.
7．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是( )
a. b.
c. d.
答案：c解析：依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足。
即。解得8．[2017·湖北八校联考]已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为( )
a．1 b．2
c．3 d．4
答案：c解析：g(x)＝f(1－x)－1
所以，当x≥1时，函数g(x)有1个零点，当x＜1时，函数g(x)有两个零点，所以函数的零点共有3个，故选c.
9．已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为___
答案：2解析：函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点．
10．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈n)内，则n
答案：2解析：求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 21，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.
11．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是___
答案：(－1,0)
解析：关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．
12．[2017·江西十校二联]给定方程x＋sin x－1＝0，下列命题中：
方程没有小于0的实数解；
方程有无数个实数解；
方程在(－∞0)内有且只有一个实数解；
若x0是方程的实数解，则x0>－1.
正确命题的序号是___
答案：②③解析：在同一坐标系中画出函数y＝x－1与y＝－sin x(该函数的值域是[－1,1])的大致图象(图略)，结合图象可知，它们的交点中，横坐标为负的交点，有且只有一个，因此方程x＋sin x－1＝0在(－∞0)内有且只有一个实数解，故③正确，①不正确，由图象易知②，④均正确．
冲刺名校能力提升练]
1．[2017·广东汕头模拟]设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )
a．g(a)＜0＜f(b) b．f(b)＜0＜g(a)
c．0＜g(a)＜f(b) d．f(b)＜g(a)＜0
答案：a解析：对函数f(x)＝ex＋x－2求导得f′(x)＝ex＋1，则函数f(x)单调递增，f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，由f(a)＝0知0＜a＜1，同理对函数g(x)＝ln x＋x2－3求导，知g(x)在定义域内单调递增，g(1)＝－2＜0，由g(b)＝0知b＞1，所以g(a)＜0＜f(b)．
2．[2017·陕西西安模拟]已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
a.，0 b．－2,0
c. d．0
答案：d解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，得x＝0；
当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．
函数f(x)的零点只有0.故选d.
3．[2017·山西质量检测]已知f(x)＝则方程f(f(x))＝3的根的个数是( )
a．3 b．4
c．5 d．6
答案：c解析：令f(x)＝t，则f(t)＝3.
若t≤0，则2t＋1＝3，解得t＝1，不符合题意；
若t>0，则|ln t|＝3，解得t＝e3或t＝e－3，若x≤0，则2x＋1＝e3或2x＋1＝e－3，解得x＝(舍)或x＝；
若x>0，则|ln x|＝e3或|ln x|＝e－3，解得x＝ee3或e -e3或e e-3或e -e-3.
故一共有5个根，故选c.
4．[2017·天津南开中学模拟]已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是___
答案：(0,1)
解析：f(x)＝
的图象如图．
由g(x)＝f(x)－m有3个零点，知f(x)＝m有三个根，则实数m的范围是(0,1)．
5．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)上，另一根在区间(1,2)上，求m的取值范围．
解：由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)上，如图所示，故。
即－6．若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．
解：解法一：(换元法)设t＝2x(t>0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*
原方程有实根，即方程(*)有正根．令f(t)＝t2＋at＋a＋1.
1)若方程(*)有两个正实根t1，t2，则解得－1＜a≤2－2；
2)若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)＝a＋1<0，解得a<－1；
3)当a＝－1时，t＝1，x＝0符合题意．
综上可知，实数a的取值范围是(－∞2－2]．
解法二：(分离变量法)由方程，解得a＝－，设t＝2x(t>0)，则a＝－＝2－，其中t＋1>1，由基本(均值)不等式，得(t＋1)＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.综上可知，实数a的取值范围是(－∞2－2 ]．
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