课时跟踪检测(十一) 函数与方程。
一、选择题。
1．(2015·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
a．(0,1b．(1,2)
c．(2,3) d．(3,4)
2．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内( )
a．可能有3个实数根 b．可能有2个实数根。
c．有唯一的实数根 d．没有实数根。
3．(2015·河北质检)若f(x)是奇函数，且x0是y＝f(x)＋ex的一个零点，则－x0一定是下列哪个函数的零点( )
a．y＝f(－x)ex－1 b．y＝f(x)e－x＋1
c．y＝exf(x)－1 d．y＝exf(x)＋1
4．(2015·大连一模)f(x)是r上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为( )
a．4 b．5
c．8 d．10
5．已知函数f(x)＝x2－bx＋a的图象如图所示，则函数g(x)＝ln x＋f′(x)的零点所在的区间是( )
a. b.
c．(1,2) d．(2,3)
6．(2015·湖北八校联考)已知x∈r，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是( )
a.∪ b.∪
c.∪ d.∪
二、填空题。
7．“函数f(x)＝ax＋3在[－1,2]上存在零点”的充要条件是___
8．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是___
9．若f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为。
10．已知0三、解答题。
11．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.
证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
12．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
1)求g[f(1)]的值；
2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
答案。1．选b ∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>2，f(1)·f(2)<0，函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．
2．选c 由f(x)在[－1,1]上是增函数，且f·f<0，知f(x)在上有唯一零点，所以方程f(x)＝0在[－1,1]上有唯一实数根．
3．选c 由已知可得f(x0)＝－ex0，则e－x0f(x0)＝－1，e－x 0f(－x0)＝1，故－x0一定是y＝exf(x)－1的零点．
4.选b 由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点．
5．选b 由题图可知f(x)的对称轴x＝∈，则1＜b＜2，易知g(x)＝ln x＋2x－b，则g＝－2ln 2＋－b＜0，g＝－ln 2＋1－b＜0，g(1)＝2－b＞0，故g(x)的零点所在的区间是。
6．选a 当01≤x<2时，f(x)＝－a＝－a，2≤x<3时，f(x)＝－a＝－a，….
f(x)＝－a的图象是把y＝的图象进行纵向平移而得到的，画出y＝的图象，如图所示，通过数形结合可知。
a∈∪，选a.
7．解析：函数f(x)＝ax＋3在[－1,2]上存在零点等价于直线f(x)＝ax＋3在[－1,2]上与x轴有交点，则，或。
答案：a≥3或a≤－
8．解析：设函数f(x)＝x2＋mx－6，则根据条件有f(2)＜0，即4＋2m－6＜0，解得m＜1.
答案：(－1)
9．解析：求函数g(x)＝f(x)－x的零点，即求f(x)＝x的根，或。
解得x＝1＋或x＝1.
g(x)的零点为1＋，1.
答案：1＋，1
10．解析：函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)－k＝0有两个解，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点．分k>0和k<0作出函数f(x)的图象．当01或k<0时，没有交点，故当0答案：(0,1)
11．证明：令g(x)＝f(x)－x.
g(0)＝，g＝f－＝－g(0)·g<0.
又函数g(x)在上连续，存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.
12．解：(1)∵f(1)＝－12－2×1＝－3，g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是。
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