第九章多元函数微分学作业。
证明：已知存在，由柯西准则，，有。
函数在有界闭区域上连续，从而一致连续，所以，当，有。
于是，当时，若，由①，有。
若，则，由②，也有。
若，，则。所以，有②，有。
所以在上一致连续。
3、证明：如果函数在全平面连续，且，(1)在上有最小值m． (2)，使得．
证明：(1) 显然，即存在点，使得．
因为，由定义，，有．
函数在有界闭区域上连续，必有最小值，即。
使得，有．因为点，所以．于是。
有，即m是在上的最小值。
2) 已知，由极限定义，对于，，有．
注意为什么要取，及）
函数在有界闭区域上连续，必有最大值，设其最大值为ｍ，即，特别地对，有。
由介值定理，使得．
4、讨论函数在点的连续性。
解：当時，有，因为，是有界量，所以。
即函数在点连续。
5、证明函数在全平面上有界。
证明：，所以，对于，当，时，有．
在有界闭区域上连续，必有界，即。
当时，有，取，则，有．
即在全平面上有界。
6、证明：函数在单位圆外一致连续。
证明：对单位圆外任意两点，，有，当时，有。
即在单位圆外一致连续。
7、设二元函数在区域上可微，且对，有，，证明：对任意，，成立。
（哈工大1999，10分）
证明：对任意，，有。
在上式右端的两项中，分别对用拉格朗日中值定理，得。
其中．8、求在极坐标下的变换式。
解：由， 解得．于是。
所以，将上式带入a中，9、讨论函数。
在点处的连续性和可微性。（哈师大，首都师大2004）解：因为，所以。
函数点连续。
所以点不可微。
10、设。证明在处可微。（哈师大）
证明：所以在处可微。
11、证明函数。
在原点连续，且偏导数存在，但在此点不可微。（哈理工2004）证明：在极坐标下。
上式中是有界量，所以，在点连续。
在点的偏导数存在。
所以在点不可微。
12、确定的值，使得函数。
1) 在原点连续。 (2) 在原点偏导数存在。 (3) 在原点可微。（哈理工2005）
解：是有界量，当时，是无穷小量，所以时，在点连续。
所以时，在点的偏导数存在，且．
当时，在点可微。
13、讨论函数。
在点的可微性。
解：所以在点不可微。
14、讨论函数。
在点的可微性。
解：所以在点不可微。
15、讨论函数。
在点的可微性。
解：，．所以在点不可微。
16、讨论函数。
在点的可微性。
解：，．所以在点不可微。
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