1.9 两个同心均匀带电球面， 半径分别为r1、r2 . 已知外球面电荷面密度为+ ,r > r2处e 0 .
求：(1)内球面电荷面密度 1 (2)两球面之间r处电场e (3) r < r1处e
解：(1) 此为球对称场。 由r > r2处e 0和高斯定理 , 两球面上总电量=0 1 = r2/r1)2
2) r2 > r > r1时 e = q r / 40 r3) =r22 r / 0 r 3)
3) r < r1时 , e = 0
1.11 h核外电荷体密度= e a1=5.2910 11 m
求：(1)核外总电量q (2) r处电场e
解；(1) q = dv = e4r2 dr = e
2)核外电荷为球对称分布， 核外电荷 r处电场等于半径为r的球体内电荷(设为q内)集中在原点的点电荷的电场。 此外原点处还有核电荷+e q总= q内+e
e= q总r/(40 r3)=e r (2r2/a12+2r/a1+1)e/(40 r3)
1.15 ao=ob=l=半径， q>0. (1)把单位正电荷从o沿圆弧ocd到d点， 求电场力对其做功； (2) 把单位负电荷从d沿ad延长线移到无限远， 求。
电场力对其做功。
解： (1) –q对正电荷的作用力与位移垂直， 作功为零。
静电场力做功与路程无关， 所以q对正电荷做功等于从o直接到d做功。
w=fdr=qdr/(40 r2)= q/(60 l)
2) w=-qdr/(40 r2)+ qdr/(40 r2)
=-q/(120l )+q/(40l )=q/(60 l)
说明： 只要是将单位负电荷从o移到无限远， 电场力对其做功都是q/(60 l), 与具体过程无关。
1.16 求证：若e线为平行直线，则e必为匀强场。
证明：如图回路。
e1dl+e2 dl=0 e1=e2
如图高斯面 - e3ds+e4 ds=0 (无电荷) e3=e4
即： 沿e方向和e的横截面e处处相等，必为匀强场。
1.19 长直共轴内外圆筒，半径为a、b, 其上电荷均布线密度为、 .求：(1)u分布 (2)内外圆筒的u
解：(1)由场的对称性e=er (柱坐标r,,z)
由高斯定理。
r>b 时e=0 , 该区域与等电势 u=0
b>r >a时e=er=/(20r) u(r)= erdr=(20l) -1 ln(b/r)
a>r 时e=0 u(r)=u(a)=(20)1 ln(b/a)
2) u=u(a) u(b)=u(a)=(20)1 ln(b/a)
1.20 设h原子基态时核外电荷为球对称分布，电荷密度为(r)=-qe-2r/a/(a3), 其中q为电子电量(大小)、a为波尔半径。求：
(1)核外电荷产生的电场电位；(2)全部电荷产生的电场电位。
解：建立如图坐标，取核为原点o. 核为质子，电量q.
1) 取dv’=r’2sin’dr’d’d’
u(核外电荷)=(r’)dv’/(40)
(r’)d’r’2dr’sin’ d’/(r’2+r2-2r’rcos’)1/2
(r’)r’2dr’[(r’2+r2-2r’rcos’)1/2/r’r]
(r’)r’2[(r’+r)-r’-r]dr’/r’r
[(r’)r’2dr’/r+(r’)r’dr’]
[(1/a+1/r)e-2r/a-1/r]
2) u=u(核外电荷)+u(核电荷)=u(核外电荷)+q/(40r)
= (1/a+1/r)e-2r/a
说明：还可以先由高斯定理计算出电场强度e，然后按定义计算电位u
2.2 如图， 半径为r1的导体球， 球外为同心导体球壳。 已知内球电位为零， 球壳带电q. 求内球电量和球壳电位。
解： 设内球电量为q. 则球壳内面电荷为-q、球壳外面电荷为(q+q)
于是内球电位为。
u球=(q+q)(40r3)-q/(40r2)+q/(40r1)=0
q/r3=q(1/r2-1/r1-1/r3)=0
q=r1r2q/(r1r3-r2r3-r1r2)
球壳电位为。
u壳=q/(40r3)-q/(40r3)+(q+q)(40r3)
(q+q)(4 0r3)=(r1-r2)q/[40(r1r3-r2r3-r1r2)]
说明： 上面多次应用均匀带电球面(q,r)的电位关系。
u球面内= u球面=q/(40ru球面外(r) =q/(40r)
2.5 半径为r的中性金属球a内有两个球形空腔b和c. q1、q2位于b、c的中心。op=r>>r.
求：作用在a、q1、q2、q上静电力。
解：设b、c空腔表面均匀带电 -q1、q2 ,使q1、q1在b腔外的电场为零以及q2、q2在c腔外的电场为零。
于是a球表面带电(q1+q2),这些电荷在表面上不均匀分布， 与q共同作用使整个球内电场为零。这样所有电荷的在金属内部的总电场为零，由唯一性定理， 上述假设电荷分布即为真正分布。
q1、q2处外电场为零， 受力fq1=fq2=0
由于r>>r a表面电荷可看作集中在o处的点电荷，即近似a球表面带电(q1+q2)在表面上不均匀分布。
fa= fq= q(q1+q2) r /(40r3) 沿其连线为斥力。
2.9 三个共轴金属圆筒，长度都是l, 半径分别为a、b、c,里外两筒用导线连接为一极，中间筒为另一极。略去边缘效应，(1)求电容c (2)若l=10cm, a=3.
9mm, b=4.0mm, c=4.1mm求c
解；设单位长度上里外筒各带电量中间筒带电-2, 电荷在圆筒表面均匀分布，满足金属内部电场为零的条件。
里、中间筒之间e1(r)= 20r) 沿径向向外。
u1=(20) 1 ln(b/a)
则里、中间筒构成的电容c1=l /u1=20l / ln(b/a)
类似外、中间筒构成的电容c2=20l / ln(c/b)
总电容c=c1+c2=20l [ln(b/a)+ln(c/b)] ln(b/a) ln(c/b)]
20l ln(c/a) /ln(b/a) ln(c/b)]
代入数值得：c=4.4510 10 f=4.45102 pf
2.28 长直导线半径为a，线电荷密度为， 产生的电位u(r)= ln r / 20+ 常数 . b>>a .求： 导线与导体平面系统单位长度电容。
解：b>>a 按题义导线电荷分布不受导体影响均匀分布，电位分布如题中所给。 导线的镜像为 , 两根导线使导体表面电位为零。
则： 导线与导体间电场为e=r (20r)1[r1+ (2b r)1]
导线与导体间电位差为。
u= e dr= (20)1 [r1 + 2b r)1] dr =
= (20)1 ln (20)1 ln(2b/a)
单位长度电容c= /u = 20 / ln(2b/a)
补2.2 均匀带电球体，半径a,带电q.求；左右两半球间斥力。
解；由对称性合力沿z轴。 设电荷体密度=3q/(4r3)
则：e=r/30
f=fz= e cos dv=2(30)1 r3dr d sincos d
=2a4/120=3q2/(640a2)
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