第9章电磁场。
9-6 如图9-40所示，一截面积的密绕线圈，共有匝，置于的均匀磁场中，的方向与线圈的轴线平行。如使磁场在内线性地降为零，求线圈中产生的感应电动势。
分析：因随改变，故穿过密绕线圈的也随改变，根据法拉第电磁感应定律要产生感应运动势。
解：由题可知随时间变化的关系是：，则磁通量为：
由法拉第电磁感应定律可得：
感应电动势的方向为：。
9-7 一铁心上绕有线圈匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为（制），求在时，线圈中的感应电动势。
分析：线圈中有n匝相同的回路，其感应电动势等于各匝回路的感应电动势之和。
解：由和法拉第电磁感应定律得：
当时， 9-8 如图9-41所示，用一根硬导线弯成一半径为的半圆，使这根半圆形导线在磁感应强度为的匀强磁场中以频率旋转，整个电路的电阻为，求感应电流的表达式和最大值。
分析：由题可知，闭合回路的面积为，穿过它的磁通量在不断变化，因此可先由法拉第电磁感应定律求出感应电动势，再由欧姆定律求出感应电流，据此再讨论最大值。
解：设在初始时刻，半圆形导线平面的法线与之间的夹角，则在任意时刻穿过回路的磁通量为：
根据法拉第电磁感应定律，有：
由欧姆定律可得回路中的电流为：
故感应电流的最大值为。
9-9 有两根相距为的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以的变化率增长。若有一边长为的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图9-42(a)所示，求线圈中的感应电动势。
分析：由于回路处于非均匀磁场中，因此，先由（为两无限长直电流单独存在时产生的磁感应强度之和）求出，再由法拉第电磁感应定律求出感应电动势。
解：建立如图9-42(b)所示的坐标系，距点处，在矩形线圈中取一宽度()很窄的面积元，在该面积元内可近似认为的大小和方向不变。由长直导线在空间一点产生的磁感强度可得穿过该面积元的磁通为：
穿过线圈的磁通量为：
再由法拉第电磁感应定律可得线圈中的感应电动势大小：
方向：顺时针。
9-10 把磁棒的一极用的时间由线圈的顶部一直插到底部，在这段时间内穿过每一匝线圈的磁通量改变了，线圈的匝数为匝，求线圈中感应电动势的大小。若闭合回路的总电阻为，再求感应电流的大小。
分析：先得，再由全电路的欧姆定律求感应电流的大小。
解：由法拉第电磁感应定律有：
又由有：9-11 如图9-43所示，金属杆以恒定速度在均匀磁场中垂直于磁场方向运动，已知，求杆中的动生电动势。
分析：金属杆沿图9-45所示方向运动时，只有部分切割磁力线运动，产生动生电动势。
解：由分析可知：
方向： 9－12 如图9-44(a)所示，把一半径为的半圆形导线置于磁感应强度为的均匀磁场中。当导线以速率水平向右平动时，求导线中感应电动势的大小，哪一端电势较高？
分析：求解动生电动的方法有：和。因此，本题可用其中任何一种方法，电势高低通常由的方向来判断，即矢量的方向为导线中电势升高的方向。
解：方法一：假设半圆形导线在宽为的静止匚形导上滑动，如图9-46(b)所示。
则两者之间形成一个闭合回路，以顺时针方向为回路正向，任一时刻端点o或端点p距匚形导轨左侧距离为，此时穿过该回路的磁通量为：
由法拉第电磁感应定律可得：
式中的负号表示电动势的方向为逆时针，对段来说点的电势高。
方法二： 连接使导线构成一个闭合回路，由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量＝常数。因此，由法拉第电磁感应定律可知：
而，即：方法三：建立如图9-46(c)所示的坐标系，在导体上任意处取导体元，则：
端点的电势较高。
9-13 如图9-47所示为一铜圆盘发电机的示意图，圆盘绕过盘心且垂直盘面的金属轴轴转动，轴的半径为。圆盘放在磁感应强度的均匀磁场中，的方向与盘面垂直。有两个集电刷分别与圆盘的边缘和转轴相连。
已知圆盘的半径为，厚度为，转动的角速度为。试计算圆盘轴与边缘之间的电势差，并指出何处的电势高。
分析：由题可知圆盘的厚度，即圆盘可视为厚度不计的薄圆盘，因此，可将铜盘分成无限多个线元，求出任意线元产生的动生电动势，然后积分即可。也可将铜盘视为若干个铜条，这些铜条的一端连在一起，另一端连在一起，类视于若干个电动势的并联，其大小等于一根铜条切割磁力线运动时产生的动生电动势。
解：在圆盘上沿径矢取一线元。其速度大小为，方向在盘面上且与垂直。该线元的产生的动生电动势为：
由于，且的方向与的方向相同，故有：
沿圆盘的径向积分，可得圆盘边缘与转轴之间的动生电动势为：
将已知数据代入可得：
在示接外电路的情况下，为集电刷间的电势差。圆盘边缘的电势高于圆盘中心转轴的电势。
9-14如图9-46（a）所示，长为的铜棒，以距端点为处为支点，以角速率绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动。设磁感应强度为的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差。
分析：棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念。其关系如同电源的路端电压与电动势间的关系，只有在开路情况下，两者的大小相等，方向相反。
解：方法一：在棒上距点为处取一线元，其速率为：，如图9-46 (a)所示，则线元两端动生电动势为：
ab棒两端动生电动势为：
因此，棒两端的电势差为：
方法二： 将ab棒上的电动势看作是oa棒和ob棒上电动势的代数和，如图9-46 (b)所示，其中，，则。
因此，棒两端的电势差为：
9－15 如图9-47（a）所示，一长为，质量为的导体棒，其电阻为，沿两条平行的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻忽略不计，轨道与导体构成一闭合回路，轨道所在的平面与水平面成角，整个装置放在均匀磁场中，磁感应强度的方向为竖直向上。求：
1)导体在下滑时，速度随时间的变化规律；
2)导体棒的最大速度。
分析：棒在下滑过程中，因切割磁力线产生动生电动势，在回路中形成感应电流，故要受到安培力的作用，其方向与下滑的方向相反，且随着速度的增大而增大。因此，棒作减速运动，当棒所受的时，运动速度达到最大值，不再增加，即随后以该速度作匀速直线运动。
解：导体棒在下滑过程中，受重力，导轨支持力和安培力的作用，如图9-47 (b)所示。由安培定律可知，在时刻导体棒所受的安培力大小为：
在导体棒下滑方向，由由牛顿第二定律可得：
由(1)和(2)有：
令，则上式变为：
分离变量并两边积分有：
由上式可得导体在时刻的速度为：
当时。上式为导体棒下滑时所能达到的最大速度。即导体棒下滑时的稳定速度。
9－16 一空心长直螺线管，长为，横截面积为，若螺线管上密绕线圈匝，问：
1)自感为多大？
2)若其中电流随时间的变化率为，自感电动势的大小和方向又如何？
分析：由密绕长直螺线管的导出公式求出l，再求。
解：(1)长直螺线管的自感为：
2)当时，线圈中的自感电动势为：
负号表示，当有电流时，自感电动势的方向与回路中电流的方向相反。
9－17 如图9－50所示，在一柱形纸筒上绕有两组相同线圈和，每个线圈的自感均为，求：
1)和相接时，和间的自感；
2)和相接时，和间的自感。
分析：无论线圈和作哪种方式连接，均要看成一个大线圈回路的两个部分，故仍可从自感系数的定义出发求解，求解过程中可利用磁通量的叠加原理。如一组载流线圈单独存在时，穿过自身回路的磁通量为，则穿过两线圈回路的磁通量为2；而当线圈按（1）或（2）方式连接后，则穿过大线圈回路的总磁通量为，“”取决于电流在两组线圈中的流向是相同或是相反。
解：如图9－50所示，设一组载流线圈单独存在时穿过自身回路的磁通量为，则穿过两线圈回路的磁通量为。
1)当a和连接时，和线圈中的电流流向相反，通过回路两回路的磁通量方向相反，故整个回路的磁通量为：，故。
2)当和b连接时，和线圈中的电流流向相同，通过回路两回路的磁通量方向亦相同，故整个回路的磁通量为：
故。9－18如图9-49所示，一面积为共匝的小圆形线圈，放在半径为共匝的大圆形线圈的正**，此两线圈同心且同平面。设线内各点的磁感应强度可看作是相同的，求：（1）两线圈的互感；
2）当线圈中电流的变化率为时，线圈中感应电动势的大小和方向。
解：(1)设流过线圈中的电流为，由于线圈很小，可近似认为线圈**圈中产生的磁感强度是均匀的，其大小为：
则穿过线圈中的总磁通量(磁链)为：
两线圈的互感为：
2) 线圈中感应电动势：
互感电动势的方向和线圈b中的电流方向相同。
9－19有一双层密绕的空心长直螺线管，长为，截面积为s，如图9-50所示，此共轴螺线管的内层绕组的总匝数为，外层绕组的总匝数为，求两个绕组的互感。
分析：设任一回路中通有电流，求出它穿过另一回路的磁通量为，再根据互感定义式求互感。
解：假设在内层绕组上通过的电流为，则密绕空心长直螺线管内磁感应强度为：
穿过外层绕组的总磁通量为：
根据互感系数的定义可得：
9-20 一个直径为，长为的长直密绕螺线管，共1000匝线圈，总电阻为。求：如把线圈接到电动势的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能有多少？磁能密度是多少？
分析：计算单—载流回路所具有的磁能，通常有二种方法：
1)若已知回路的自感为，则该回路通有电流时所储存的磁能为：；
2)已知磁场能量密度，由，求磁能，其中积分遍及磁场存在的空间。
解：因：密绕长直螺线管在忽略端部效应时，其自感为：
电流稳定后，线圈中电流为：
则线圈中所储存的磁能为：
又由得磁能密度为：
9-21 一无限长直导线，截面各处的电流密度相等，总电流为。试证：每单位长度导线内所贮藏的磁能为。
分析：由安培环路定律求出无限长载流直导线激发的在磁场，由于本题仅求单位长度导体内所储存的磁能，故用较方便。
证明：围绕轴线取一个半径为r的圆环闭合回路，使其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理：
当时， ，当时，
由可得磁能密度为：
再由可得单位长度导线内所贮藏的磁能为：
9-22 平板容器两极板都是半径为的圆导体片，设充电电荷在极板上均匀分布，两极板间电场强度的时间变化率为，求。
1）两极板间的位移电流；
2）两极板间磁感应强度的分布及极板边缘的磁感应强度。
分析：由题可知，磁场对两极板的中心轴线具有对称分布，在垂直于该轴的平面上，取以轴点为圆心，以r为半径的圆作积分环路，由于对称性，在此积分回路上磁感应强度的大小相等，方向沿环路的切线方向，且与电流成右手螺旋，因此可用全电流安培环路定律、d与e、h与b的关系求解。
第9章作业答案
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