习题一 p311题
arg(z) =arctan
5题。8题
12题 2) 即直线。
6) arctan
以i为起点的射线（x>0）.
13题。1) ;即y<0, 不含实轴的下半平面，开区域，无界，单连通。
2) ;即以（2,0）为圆心，3为半径的圆域外，开区域，无界，多连通。
15题。1) 即，; x>0;
是双曲线在第一象限的一支。
; 椭圆。
16题。2) y=2; ;
4椭圆的参数方程)
20题习题二 p502题。
4题。1奇点的求法)
5题。柯西-黎曼方程验证函数是否解析) ,3
当时及外都解析。即虚轴外都解析。8题。
是调和函数(拉普拉斯方程)
求y的导数。即，
调和函数。
,由u不含任意数，故有。9题。
10题。
证：11题。
12题。证： 13题。
16题。不正确。，习题三 p68
1题。计算积分，其中c为从点1沿下列路径到点i.
1) 沿实轴从1到0，再沿虚轴从0到i；
2) 沿直线从1到i.
解：1) 曲线c的方程为。
(2) 曲线c的方程。
3题。计算积分，c为从0到的直线段。
解：曲线c的方程。
5题。指出下列各积分值，并说明理由，其中c：取正向。
解：因为在内被积函数满足柯西古萨基本定理，所以。
7题。沿指定曲线正向计算下列积分：(以用柯西积分公式)1) ，其中c：
3) ，其中c：
5) ，其中c： 解：
7), 其中c：；
解：由高阶导数公式。
8其中c：
解：， 由高阶导数公式。
8题。计算积分，其中c为正向圆周。
解(1) (单个时奇点做分母)
(复合闭路定理)
9题。计算积分，其中，
解：习题三 p68
1题。计算积分，其中c为从点1沿下列路径到点i.
1) 沿实轴从1到0，再沿虚轴从0到i；
2) 沿直线从1到i.
解：1) 曲线c的方程为。
(2) 曲线c的方程。
3题。计算积分，c为从0到的直线段。
解：曲线c的方程。
5题。指出下列各积分值，并说明理由，其中c：取正向。
解：因为在内被积函数满足柯西古萨基本定理，所以。
7题。沿指定曲线正向计算下列积分：
1) ，其中c：
3) ，其中c：
5) ，其中c： 解：
习题四 p88
6题。把下列各函数在指定点处展开成泰勒级数，并指出收敛半径。
解：收敛半径为1.
解：收敛半径。
收敛半径为。
解：收敛半径。
收敛半径。8题。
将函数在以下圆环域内展开成洛朗级数。
解：解：9题。
把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数。
解：3) 在点3的去心领域内。
解：函数还有一奇点，距离为1
圆环域内为，那么。
解：12题。
利用洛朗展开式求下列积分。
解：解：习题五 p109
1题。下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。
解：1) 由得，，是函数的奇点，而且是一级极点。
注：如果是，则是一级极点，是二级极点。
3是可去奇点，是一级极点。
5是本性奇点。
3题。设函数与分别以为级与级极点（或零点），则下列三个函数：
在处各有什么性质？
解：1) 如果是奇点，则在是级极点。
如果是零点，则在是级零点。
3) 如果是奇点，则在是级极点。
如果是零点，则在是级零点。
5题。求下列各函数在有限奇点处的留数。
解：(1) 函数在是唯一的有限奇点，那么，此洛朗级数的洛朗系数。
(3) 函数有三个有限奇点：而且 故。
又。(5) 是的唯一有限奇点。
是函数的本性奇点，且，即。
6题。利用留数计算下列积分。
13a>1)
5a|<1<|b|)
解：1) 原式=
3) 原式= 内只有。
一级极点，原式=
5被积函数在内，是n级极点。原式=
复变函数作业答案
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