习题一答案。
1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：
解：（1），
因此：，2），因此，3），因此，4）
因此，2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式：
解：（1）
3． 求下列各式的值：
解：（1）
4． 设试用三角形式表示与。
解：，所以。
5． 解下列方程：
解：（1） 由此。
当时，对应的4个根分别为：
6． 证明下列各题：（1）设则。
证明：首先，显然有；
其次，因固此有
从而 。2）对任意复数有。
证明：验证即可，首先左端，而右端
由此，左端=右端，即原式成立。
3）若是实系数代数方程。
的一个根，那么也是它的一个根。
证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，，由此得到：
由此说明：若为实系数代数方程的一个根，则也是。结论得证。
4）若则皆有。
证明：根据已知条件，有，因此：
证毕。5）若，则有。
证明：，因为，所以，因而，即，结论得证。
7．设试写出使达到最大的的表达式，其中为正整数，为复数。
解：首先，由复数的三角不等式有，在上面两个不等式都取等号时达到最大，为此，需要取与同向且，即应为的单位化向量，由此，8．试用来表述使这三个点共线的条件。
解：要使三点共线，那么用向量表示时，与应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差或的整数倍，再由复数的除法运算规则知应为或的整数倍，至此得到：
三个点共线的条件是为实数。
9．写出过两点的直线的复参数方程。
解：过两点的直线的实参数方程为：
因而，复参数方程为：
其中为实参数。
10．下列参数方程表示什么曲线？（其中为实参数）
解：只需化为实参数方程即可。
1），因而表示直线。
2），因而表示椭圆。
3），因而表示双曲线。
11．证明复平面上的圆周方程可表示为 ，其中为复常数，为实常数。
证明：圆周的实方程可表示为：，代入，并注意到，由此。
整理，得 记，则，由此得到。
结论得证。12．证明：幅角主值函数在原点及负实轴上不连续。
证明：首先，在原点无定义，因而不连续。
对于，由的定义不难看出，当由实轴上方趋于时， ，而当由实轴下方趋于时， ，由此说明不存在，因而在点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证。
13．函数把平面上的曲线和分别映成平面中的什么曲线？
解：对于，其方程可表示为，代入映射函数中，得。
因而映成的像曲线的方程为 ，消去参数，得
即表示一个圆周。
对于，其方程可表示为。
代入映射函数中，得。
因而映成的像曲线的方程为 ，消去参数，得，表示一半径为的圆周。
14．指出下列各题中点的轨迹或所表示的点集，并做图：
解：（1），说明动点到的距离为一常数，因而表示圆心为，半径为的圆周。
2）是由到的距离大于或等于的点构成的集合，即圆心为半径为的圆周及圆周外部的点集。
3）说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数，因而表示一个椭圆。代入化为实方程得。
4）说明动点到和的距离相等，因而是和连线的垂直平分线，即轴。
5），幅角为一常数，因而表示以为顶点的与轴正向夹角为的射线。
15．做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。
1），以原点为心，内、外圆半径分别为的圆环区域，有界，多连通。
2），顶点在原点，两条边的倾角分别为的角形区域，无界，单连通。
3），显然，并且原不等式等价于，说明到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3 连线的垂直平分线即2.5左边部分除掉2后的点构成的集合，是一无界，多连通区域。
4），显然该区域的边界为双曲线，化为实方程为 ，再注意到到2与到2的距离之差大于1，因而不等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。
5），代入，化为实不等式，得。
所以表示圆心为半径为的圆周外部，是一无界多连通区域。
习题二答案。
1． 指出下列函数的解析区域和奇点，并求出可导点的导数。
解：根据函数的可导性法则（可导函数的和、差、积、商仍为可导函数，商时分母不为0），根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式，再注意到区域上可导一定解析，由此得到：
1）处处解析，
2）处处解析，
3）的奇点为，即，4）的奇点为，2． 判别下列函数在何处可导，何处解析，并求出可导点的导数。
解：根据柯西—黎曼定理：
1），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西—黎曼方程。
解得：，因此，函数在点可导，函数处处不解析。
2），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西—黎曼方程。
解得：，因此，函数在直线上可导， ，因可导点集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。
3），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，并且处处满足柯西—黎曼方程
因此，函数处处可导，处处解析，且导数为
（4），因函数的定义域为，故此，处处不满足柯西—黎曼方程，因而函数处处不可导，处处不解析。
3． 当取何值时在复平面上处处解析？
解： 由柯西—黎曼方程得：
由（1）得 ，由（2）得，因而，最终有。
4． 证明：若解析，则有
证明：由柯西—黎曼方程知，左端。
右端，证毕。
5． 证明：若在区域d内解析，且满足下列条件之一，则在d内一定为常数。
1）在d内解析2）在d内为常数，3）在d内为常数， （45）
证明：关键证明的一阶偏导数皆为0！
1），因其解析，故此由柯西—黎曼方程得
而由的解析性，又有2）
由（1）、（2）知，，因此即。
为常数。2）设，那么由柯西—黎曼方程得。
说明与无关，因而，从而为常数。
3）由已知，为常数，等式两端分别对求偏导数，得。
因解析，所以又有2）
求解方程组（1）、（2），得 ，说明皆与无关，因而为常数，从而也为常数。
4）同理，两端分别对求偏导数，得
再联立柯西—黎曼方程，仍有。
5）同前面一样，两端分别对求偏导数，得。
考虑到柯西—黎曼方程，仍有。
证毕。6． 计算下列各值（若是对数还需求出主值）
解：（1）2），为任意整数，主值为：
为任意整数。主值为：
为任意整数。
6），当分别取0，1，2时得到3个值：
7． 求和。
解：，因此根据指数函数的定义，有。
为任意整数）
8． 设，求。
解：，因此。
9． 解下列方程：
解：（1）方程两端取对数得：
（为任意整数）
2）根据对数与指数的关系，应有。
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复变函数第二章习题答案
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