抽象函数专题练习。
例2：若f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意实数x、y都成立，且f(x)不恒等于零，判断函数f(x)的奇偶性。
例3: 函数的定义域为[1,2]，求f(1–x)的定义域。
例4：已知函数f(x)在定义域r+上是增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)(x,y∈r+)，求f(x)的值域。
例6：函数f(x)的定义域为全体实数，对任意实数a、b，有f(a+b)+ f(a-b)=2 f(a) f(b)，且存在c>0，使f()=0得，求证：f(x)是周期函数。
例6*：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1，且对于任意实数x、y，有f(x+y)= f(x)f(y)，求证：f(x)在r上为增函数。
例7：设的定义域为，对任意，都有，且时，，又，①求证为减函数；②解不等式。
例8：设对满足|x|≠1的所有实数x，函数f(x)满足f()+f()=x，求f(x)的解析式。
例9：已知函数f(x)对任意实数x都满足f(–x)=f(+x)，并且f(x)=0有3个实根，求这3个实根的和。
巩固练习。1．设定义在上的单调增函数，满足，。 求：
2) 若求的取值范围。
2（07江西）设函数f(x)是r上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为。
ab．0 cd．5
3．已知函数对任意实数，均有，且当时，.
1) 判断的奇偶性；
2) 判断在的单调性，并给出证明；
若，且，求的取值范围。
5.已知函数定义域为r，满足条件：存在，使得对任何和，成立。 求：
2) 对任意值，判断值的正负。
6、已知函数f(x)对一切实数x，y满足f(0)≠0，f(x+y)= f(x) f(y)，且当x<0时，f(x)>1，则当x>0时，f(x)的取值范围是。
a.(1，+∞b.（–1） c.（0，1）d.（–1，+∞
7、若f(x)为奇函数，且在（–∞0）内是增函数，又f(-2)=0，则xf(x)<0的解集是（ ）
a. (2，0)∪(0，2b. (2)∪(0，2)
c.(–2)∪(2d.(–2，0)∪ 2，+∞
8、设函数y=f(x)定义在r上，则函数y=f(x–1)与f(1–x)的图象关于（ ）
a.直线y=0对称 b. 直线x=0对称
c. 直线y=1对称 d. 直线x=1对称。
9、已知f(a+b)=f(a)f(b)，且f(1)=2，则。
10、已知对任意x,y∈r，函数f(x)满足f(x+y2) =f(x)+2 f 2(y)，且f(1)≠0，则f(2006
11、函数f(x)是定义域为[–1，1]的奇函数，且是增函数，若f(1–a) +f(1–a2)<0，则a的取值范围是 ；
12、已知函数对任意实数，均有，且当时，求在区间上的值域。
13、设函数f(x)是奇函数，对任意x,y∈r，都有关系f(x+y)=f(x)+f(y)，若x>0时，f(x)<0且f(1)=–2，求f(x)在[–3，3]上的值域。
14、设函数f(x)的定义域为r，对于任意实数m，n，总有f(m+n)=f(m)·f(n)，且x>0时0（1）证明：f(0)=1，且x<0时，f(x)<1；
2）证明：f(x)在r上单调递减；
3）设a=，b=，若a∩b=ф，确定a的范围。
1 线性函数型抽象函数。
例题1】已知函数对任意实数，均有，且当时，求在区间上的值域。
例题2】已知函数对任意实数，均有，且当时，求不等式的解。
2 指数函数型抽象函数。
例题3】已知函数定义域为r，满足条件：存在，使得对任何和，成立。 求：
2) 对任意值，判断值的正负。
例题4】是否存在函数满足下列三个条件：
②③同时成立？
若存在，求出的解析式，若不存在，说明理由。
3 对数函数型抽象函数。
例题5】设定义在上的单调增函数，满足，。 求：
2) 若求的取值范围。
4 三角函数型抽象函数。
例题6】已知函数的定义域关于原点对称，且满足下列三个条件：①当是其定义域中的数时，有②（，是定义域中的一个数）③当时，试问：
1）的奇偶性如何？说明理由。
2） 在上，的单调性如何？说明理由。
5 幂函数型抽象函数。
例题7】已知函数对任意实数，均有，且当时，.
3) 判断的奇偶性；
4) 判断在的单调性，并给出证明；
5) 若，且，求的取值范围。
练习：2010省市部分试题。
1.（上海十四校联考）已知上的函数，且都有下列两式成立：
的值为 答案 1
2．已知是定义在r上的不恒为零的函数，且对于任意实数、满足：，，考察下列结论，①；为偶函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列，其中正确的是___填序号）
答案 ①③3.（岳阳联考题）若是定义在上的函数，对任意的实数，都有和且，则的值是（ ）
a．2008b．2009c．2010 d．2011
答案 c4．(成都市石室中学高三三诊模拟)定义在[0，1]上的函数满足，且当时，等于c ）
a． b．c． d．
5.（安徽两地三校联考）定义在r上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈r，有f(a+b)=f(a)f(b)，1）求证：f(0)=1；
2）求证：对任意的x∈r，恒有f(x)>0；
3）证明：f(x)是r上的增函数；
4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。
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