作业3函数的极限

1、根据函数极限的定义证明：

证明：无妨设，则有。

取，当时，恒有。所以。

证明：当时，，此时有。

取，当时有。

所以。2、已知，证明：

1）存在，使得当时，

证明：取，因为，所以存在，当时有。

即当时，。2）对任意取定的，存在，使得当时，。

证明：取，因为，所以存在，当时有。

即当时，。）设，研究在处的左极限、右极限及当时的极限。

解：① 当时。

取，当时，恒有。

所以。当时。

取，当时，恒有。

所以。因为，所以。

2）设函数，研究极限是否存在，若存在将它求出来。

解：① 因为。

所以不存在。

② 因为。所以。

③ 因为。所以。

4、设，证明存在的去心邻域，使得在该邻域内是有界的。

证明：取，因为，所以一定存在，当时，恒有。

命题结论得证。

5、如果时，函数的极限存在。证明：的极限是唯一的。

证明：既要证明：如果数是函数当时的极限，则一定有。

假设。无妨设，取。因为，所以存在正数，当时有。

又因为，因此存在正数，当时有。

取，当时有。

这是一个矛盾，从而证明成立。

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