实验2 数列与函数的极限。
实验目的。1. 观察数列和函数在极限过程中的变化趋势，深入理解极限的概念。
2. 掌握用数学软件计算数列和函数极限的方法。
实验准备。1．数列的极限。
2．函数的极限。
实验内容。1．观察数列极限存在的几何演示。
2．观察函数极限存在的几何演示。
3．函数极限的计算方法。
4．生物种群生长的logistic模型。
软件命令。表2-1 matlab一元函数极限命令。
实验演示。例2.1】数列的极限。
设，在平面上绘出点的散点图和折线图，并根据图形来猜测数列的极限值。
程序】：n=101;
y(1)=1;
for k=2:n
y(k)=(3*y(k-1)+1)^(1/3);
endx=[1:1:101];
plot(x,y,'r*')
输出】：图2-1 函数的极限观察。
例2.2】函数极限的几何意义。
设，我们已经知道，对给出的各个，总能找到相应的，使得当时，总有。运行下面的程序并观察函数极限存在的几何意义。
步骤】：step 1：解不等式，即，因此可取；
step 2：分别取，计算；
step 3：针对不同的，画出函数图形和矩形区域。
程序】：参见。
输出】：见图2-2。
图2-2 函数极限的几何意义。
例2.3】计算下列函数的极限。
程序】：syms n,x;
第一小题。
f1=(n+1)^(n+1)/(n+2)*n^n);
v1=limit(f1,n,inf,'left')
第二小题。
f2=n^(1/n);
v2=limit(f2,n,inf,'left')
第三小题。
f3=exp(1/x);
v3=limit(f3,x,0,'left')
第四小题。
f4=(sin(x))^tan(x));
v4=limit(f4,x,pi/2,'left')
第五小题。
f5=1/(x*log(x)^2)-1/(x-1)^2;
v5=limit(f5,x,1,'left')
第六小题。
f6=x*(sin(log(1+3/x))-sin(log(1+1/x)))
v6=limit(f6,x,inf,'left')
第七小题。
f7=(3*sin(x)+x^2*cos(1/x))/1+cos(x))*log(1+x));
v7=limit(f7,x,0)
第八小题。
f8=sin(4*x)/(x+2)^(1/2)-2^(1/2));
v8=limit(f8,x,0)
输出】：v1 =exp(1)；v2 =1；v3 =0；v4 =1；v5 =1/12；v6 =2；v7 =3/2；v8 =8*2^(1/2)。
例2.4】生物种群生长的logistic模型。
在生物学中，刻画生物群体中个体总量增长模型的典型例子由著名的logistic模型。
给出，其中为一个比例值，表示生物种群的第代的个体总量与该群体所能达到的最大个体总量之比，，为增长系数。给定初值和比例系数的值后，logistic模型给出该种群的繁衍规律。
生物学家为了**群体总量的变化情况，就要研究这个数列。其中感兴趣的问题是：这个数列的发展趋势如何？
matlab程序】：
程序一】：参见 功能：变化趋势观察。
调用格式：p=logistic(p0,lamda,n)
调用例子：p=logistic(0.5,3.4,100)
程序二】：参见功能： 绘制蛛网图。
调用格式：spidernet(p0,lamda,n)
调用例子：spidernet(0.5,3.4,50)
辅助函数：plotarrow(x,y,p)
程序三】：参见 功能：绘制feigenbaum图。
调用格式： feigenbaum(p0,lamda1,lamda2,step,n0,n)
调用例子：feigenbaum(0.5,3.4,3.95,0.01,50,100)
结论一】：选取适当的n以及多组不同参数p0,lamda运行程序一，可以观察到（见图2-3）：
1）当p0=0.5,lamda=2.5时，pn有明确的极限值：0.6000（见图2-3(1)）；
2）当p0=0.5,lamda=3.3时，数列pn出现周期性变化，并且周期为2，这表明种群数量将出现周期性波动（见图2-3(2)）。
3）当p0=0.5,lamda=3.5时，数列仍出现周期性变化，但周期为4，这表明种群数量将出现周期性波动（见图2-3(3)）。
4）当p0=0.5,lamda=3.8时，数列不再出现明显的周期性变化，数列中项的取值变得很紊乱。这表明种群的数量将无明确趋势可言（见图2-3(4)）。
5）当对p0作微小扰动时，如：p0=0.50001，lamda=3.8，则数列后面的项将会出现很大的变动，很难**变化趋势（见图2-3(5)）。
(1) p0=0.5,lamda=2.5,n=50
2）p0=0.5,lamda=3.3,n=50
3）p0=0.5,lamda=3.5,n=50
4）p0=0.5,lamda=3.8,n=50
5）p0=0.5001,lamda=3.8,n=100
图2-3 logistic增长模型趋势图。
结论二】：使用不同的参数调用程序二，输出见图2-4（称为蛛网图）。
通过图2-4和数据可以观察到：对选定的p0，某些lamda值迭代序列是收敛的，说明pn的极限值存在；对某些lamda值，则出现周期性；另有些lamda值，迭代序列既不收敛也不呈现出周期性，而是反映出一种十分混乱的混沌现象，轨道不再是趋向于任何稳定的周期轨道，而似乎随机的在（0，1）区间（或其中的某些子区间）中跳来跳去，但这一轨道在这些区间内的任何一个子区间内都会出现无数次，这就是混沌的遍历性。
(1)：p=0.5,lamda=2.9,n=100
(2)：p=0.5,lamda=3.3,n=100
3)：p=0.5,lamda=3.6,n=100
图2-4 蛛网图。
结论三】：选择不同的参数值调用程序三，输出见图2-5（称为feigenbaum 图）。
可以观察到：途中从开始的一条曲线（不动点）**成两条曲线（2周期循环）、四条曲线（4周期循环）和8条曲线（8周期循环），这种现象成为倍周期现象。
p0=0.5,lamda1=3.3,lamda2=3.95,step=0.001
图2-4 feigenbaum 图。
实验练习。1．计算下列极限。
2．讨论函数的连续性，其中。
3．研究数列（为正整数）的变化趋势，说明数列的阶的大小关系。
4．连续计息问题—你能成为百万富翁吗？
某储户将10万元人民币以活期形式存入银行，年利率为0.81%，如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，若储户等间隔的结算n次，每次结算后将本息全存入银行，问一年后该储户的本息和是多少？若结算次数无限增加，一年后该储户能否成为百万富翁？
5．另外选择不同的参数值或改变迭代函数（注：此时需要修改程序），运行【例2.4】的程序，报告你观察的在例【2.4】中没有提到的现象或新的迭代函数产生的现象。
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