数学2班实验

数学实验。

实验四数列与级数。

实验4 数列与级数。

实验目的：通过计算机发现数列与级数的规律及其极限状态的性质。

实验原理：通过计算机图示的方法发现数列与级数的规律及其极限行为，我们以fabonacci数列，调和级数以及3n+1问题为例来**数列与级数问题。

实验过程一：为考察fabonacci数列的极限与规律，我们用计算机算出fabonacci数列每一项的值，并在二维平面上画出顺次连接点n的折线图，其中n是一个大整数。给定数列。

递推关系由。

该数列就是fabonacci数列。

1. 分别取n=20，50，100，200，500，观察fabonacci数列的折线图。利用公式（3），容易得到。

因此，的阶应该在之间。为进一步的研究fabonacci数列。的特性，我们将取对数，在直角坐标系中画出顺次连接点，n=1,2,…,n的折线图如下：

2. 分别取n=2000，5000，10000，用直线拟合数据，n=1,2,…,n，由此求数列的近似表示。

由计算机观察到的上述结果我们似乎可以猜测数列的通项具有形式。

将上式代入公式（1）得：

从而因为数列趋于无穷，故取。于是。

然而公式（2）并不满足，并非数列的通项公式，不过他依然是的主项。

实验过程2：无穷级数。

1. 当时收敛，特别的，当时，级数（11）称为调和级数。

数列： 一个直观的方法是画出由点构成的折线图。级数（11）式的图像如下：

2.问题。问题的提法是：任给自然数，如果n 是偶数，则将n除2；如果n是奇数，则将n乘3加1.重复上述过程得到一个无穷数列。 例如。

上述数列可递归的定义为：

设考察无穷乘积。

四 . 实验结果。

在实验过程一与过程二中我们通过观察知道：数列与级数有密不可分的关系：一个无穷级数唯一的确定了一个无穷数列，一个无穷数列也唯一的确定了一个无穷级数。

无穷级数的和就是相应的无穷数列的极限，因此，无穷数列与无穷级数是可以相互转化的。

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