数学2班实验

数学实验。

实验二怎样计算

实验2 怎样计算。

一数值积分法计算。

实验目的：由于半径为1的圆（即单位圆），它的面积等于，只要计算出单位圆的面积，就计算出了。

实验原理：以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分g 是一个扇形，有曲线及两条坐标轴围成，它的面积s=，算出了s 的近似值，它的4倍就是的近似值。

实验过程：1 问题1：

怎样计算扇形g的面积s 的近似值？如图：2-1。

作平行于y轴的直线，将x轴上的区间[0，1]（也就是扇形在x 轴上的半径）分成n等分，相应的将扇形g 分成n个同样宽度的的部分，每部分是一个曲边梯形：它的左方，右方的边界是相互平行的直线段，类似于梯形的两底；上方边界是一段曲线，因此称为曲边梯形，如下图。

实验结果：因为扇形面积s 的近似值为。s=

由此可以看出，当n 越大时，计算出来的梯形面积之和t 就越接近扇形面积s ，而4t就越接近的准确值。

二泰勒级数法计算。

实验目的：利用反正切函数的泰勒级数计算。

实验原理：将x=1代入。

得到。在上面的级数中取n=20000计算的近似值，观察所得的结果和所花的时间。

eg 2 国际象棋盘一共有64个格子，第一个格子要一粒麦子，第二个格子要两粒麦子，然后要4粒，8粒，16粒，….后面格子所要的麦粒数是前面格子的2倍，64个格子要完了，就不要了，这表面上看起来不多，实际上所要的麦粒数是一个天文数字。

在中取2n-1=63得到的的近似误差就小于，准确度已经很高了。

但时得到的与有什么关系？对于计算有何帮助？

我们并不知道是的多少倍，但是却能计算出，即可得出运算。

实验过程。实验结果，发现花费的时间越长，所得的结果的准确度越差，其原因。

时得到的arctan1的展开式收敛的太慢。

问题3 （蒙特卡罗法计算）

实验目的：在数值分析中，我们利用求单位圆的的面积来得到，从而得到。

实验原理：单位圆的是一个扇形g，他是边长为1的单位正方形的一部分，如图，单位正方形的面积，只要求出g的面积s在正方形的面积中所占的比例，就能立即得到s，从而得到的值。

实验过程：问题怎样实现这样的随机投点，任何一种计算机语言都有这样的语句，能够产生在区间均匀分布的随机数，运行程序如下：

实验结果：程序运行后，产生的随机数x , y，则以为坐标的一点p，它落在正方形内的每一点的机会均等，由此得出扇形的面积，从而利用原理解得。

由以上实验我们知道，计算可以通过数值积分法，泰勒级数法，蒙特卡罗法等都可以计算出。