函数的性质。
性质一奇、偶性。
1.定义域为r的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中，奇函数的个数是。
a.4 b.3 c.2 d.1
解析】选c.由奇函数的概念可知y=x3,y=2sin x是奇函数。
2、 （2014·湖南高考理科·ｔ3）已知分别是定义在r上的偶函数和奇函数，且＝(
a．－3 b．－1 c．1 d．3
解题提示】由奇函数和偶函数的定义，把x=-1代入即可。
解析】选c. 把x=-1
3、若函数f(x)=是奇函数，则a的值为( )
a.0b.1c.2d.4
解析】选a.由f(-1)=-f(1),得，所以(-1+a)2=(1+a)2,解得a=0.
4、(2015·重庆模拟)已知函数y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=lg x,则f(f())的值等于( )
2d.-lg 2
解析】选d.因为当x>0时，f(x)=lg x,所以f()=lg =-2,则f(f())f(-2),因为函数y=f(x)是奇函数，所以f(f())f(2)=-lg 2.
代入已知得所以。
性质二周期性。
5.已知f(x)在r上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时，f(x)=2x2,则f(2 015)等于( )
a.-2b.2c.-98d.98
解析】选a.因为f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1).
又f(x)为奇函数，所以f(-1)=-f(1)=-2×12=-2,即f(2 015)=-2.
方法技巧】周期性问题常与奇偶性相结合，解题时注意以下两点：
1)周期的确定：特别是给出递推关系要明确周期如何确定。
2)周期性与奇偶性在解题时，一般情况下周期性起到自变量值转换作用，奇偶性起到调节转化正负号的作用。
加固训练】(2015·皖北八校模拟)定义在r上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-2,0)时，f(x)=2x+,则f(2 013)=(
a.-1b.0c.1d.±1
解析】选a.因为f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数。因为f(x-2)=f(x+2),所以f(x+4)=f(x),即函数的周期为4.
所以f(2 013)=f(4×503+1)=f(1).因为f(-1)=2-1+=1,f(-1)=-f(1)=1,即f(1)=-1,所以f(2 013)=f(1)=-1,故选a.
3、函数的单调性。
题型一函数单调性的判断。
例1. 讨论函数f(x)＝(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．
解设－1则f(x1)－f(x2)＝－
－1∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0.
又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，函数f(x)在(－1,1)上为减函数．
4. （2014·湖南高考文科·ｔ4）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
解题提示】根据基本初等函数函数的奇偶性和单调性解答。
解析】选b。
题型二复合函数单调性。
1、函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是。
2、 函数，使是增函数的的区间是___
题型三、 利用函数的单调性求参数。
1. 已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞上是增函数，则a的取值范围是___
答案 (－1]
解析 ∵f(x)＝e|x－a|＝
f(x)在[a，＋∞上为增函数，则[1，＋∞a，＋∞a≤1.
1. 已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞3)上是减函数，则a的取值范围是( )
a．(0b．(0c．[0d．[0，]
答案 d解析当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞3)上是减函数，当a≠0时，由，得0综上a的取值范围是0≤a≤.
3、若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是。
a．(－1,0b．(－1,0)∪(0,1]
c．(0,1d．(0,1]
答案 d解析 ∵f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1,2]上是减函数，a≤1.①
又g(x)＝(a＋1)1－x在[1,2]上是减函数．
a＋1>1，∴a>0.②
由①、②知，013.(2015·长沙模拟)设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1-m)【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)=f(|x|).
所以不等式f(1-m)又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数。
所以解得-1≤m<.
答案：[-1,)
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