1 1函数的性质

1.函数的性质及应用。

第一课时函数的性质。

问题1：a、b、p为平面上的三个点，m为线段ab的中点，已知|ab|=4，|pa|+|pb|=6，怎样表示|mp|的长度？并求|mp|的最大值、最小值。

解】设|pa|=x，|pb|=y，由平面几何知识，得。

||pa|－|pb||≤ab|（p、a、b三点共线时，取“=”号）

|x－（6－x）|≤4，|x－3|≤2，即1≤x≤5.

问题3：设f（x）是定义在实数集r上的函数，且满足下列关系：f（10+x）=f（10－x），f（20+x）=－f（20－x），则f（x）是（）

a.偶函数，又是周期函数。

b.偶函数，但不是周期函数。

c.奇函数，又是周期函数。

d.奇函数，但不是周期函数。

解析】 ∵f（20+x）=－f（20－x）

f（20+x）=f［10+（10+x）］=f［10－（10+x）］=f（－x）

f（20－x）=f［10+（10－x）］=f［10－（10－x）］=f（x）

f（－x）=－f（x），函数是奇函数。

又f（40+x）=f［20+（20+x）］=f（－20－x）=－f（20+x）=－f（－x）=f（x）.

函数是周期函数，最小正周期为40.

答案】 c**】把一些不等式问题、方程问题，转化为函数问题来解决，往往思维清晰，解法简单。此题的难点在于：“不等式x+|x－2c|＞1的解集为r”这一意义的理解，通过转化为“函数y=x+|x－2c|在r上恒大于1”的意义时，就容易多了。

3）【解】当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈m.

当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈m，所以存在非零常数t，对任意x∈r，有f（x+t）=tf（x）成立，即sin（kx+kt）=tsinkx.

因为k≠0，且x∈r，所以kx∈r，kx+kt∈r，于是sinkx∈［－1，1］，sin（kx+kt）∈［1，1］，故要使sin（kx+kt）=tsinkx成立，只有t=±1，当t=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，则k=2mπ，m∈z.

当t=－1时，sin（kx－k）=－sinkx成立，即sin（kx－k+π）sinkx成立，则－k+π=2mπ，m∈z，即k=－2（m－1）π，m∈z.

综合得，实数k的取值范围是。

**】对函数含义的理解应做到深入透彻，特别是一些抽象函数方程形式，可以参照结合各种具体函数进行理解，在证明时，应力求严谨。