§4.函数的性质。
一、知识要点。
1.判断（证明）单调性的方法。
1）定义法。
取值：在给定区间上任取，且；
作差：；变形：分解因式、配方；
判号，得结论。
2）图象法。
3）运算法：
增+增=增；增-减增；减+减=减；减-增=减。
4）复合法：同增异减。
5）导数法：
在区间，在递增；
在区间，在递减。
6）配凑法：证明抽象函数的单调性。
2.判断（证明）奇偶性的方法。
先看定义域是否关于原点对称，然后判断：
1）定义法。
为奇函数；为偶函数。
2）图象法。
奇函数图象关于原点对称；
偶函数图象关于轴对称。
3.判断周期性的方法。
5）函数图象有两条（或以上）的对称轴，或有两个（或以上）的对称中心，则为周期函数，且相邻两对称轴（或对称中心）之间的距离；
函数图象既有对称轴，又有对称中心，则为周期函数，且相邻的对称轴与对称中心之间的距离。
4.对称性。
1）关于直线对称；
2）关于点中心对称。
二、考点演练。
题型一：单调性的应用。
1.设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数：，取，当时，函数的单调递减区间是___
2.若函数在上为单调减函数，则实数的取值范围是___
题型二：奇偶性的应用。
3.已知函数为奇函数，，则___
4.已知偶函数在单调递增，，若，则的取值范围是___
题型三：周期性的应用`
5.已知偶函数对均满足，且当时，，则___
6.已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是___
题型四：对称性的应用。
7.定义在r上的函数是减函数，且函数的图象关于点中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是___
8.定义在r上的奇函数满足，当时，，设，则方程的解集为___
题型五：综合应用。
9.已知函数，其中是自然对数的底数。
1）证明：是r上的偶函数；
2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
3）已知正数满足：存在，使得成立。试比较与的大小，并证明你的结论。
4.函数的性质。
一、知识要点。
1.判断（证明）单调性的方法。
1）定义法。
取值：在给定区间上任取，且；
作差：；变形：分解因式、配方；
判号，得结论。
2）图象法。
3）运算法：
增+增=增；增-减增；减+减=减；减-增=减。
4）复合法：同增异减。
5）导数法：
在区间，在递增；
在区间，在递减。
6）配凑法：证明抽象函数的单调性。
2.判断（证明）奇偶性的方法。
先看定义域是否关于原点对称，然后判断：
1）定义法。
为奇函数；为偶函数。
2）图象法。
奇函数图象关于原点对称；
偶函数图象关于轴对称。
3.判断周期性的方法。
5）函数图象有两条（或以上）的对称轴，或有两个（或以上）的对称中心，则为周期函数，且相邻两对称轴（或对称中心）之间的距离；
函数图象既有对称轴，又有对称中心，则为周期函数，且相邻的对称轴与对称中心之间的距离。
4.对称性。
1）关于直线对称；
2）关于点中心对称。
二、考点演练。
题型一：单调性的应用。
1.设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数：，取，当时，函数的单调递减区间是___
解析】作出函数与的图象，被压在下方的图象即为的图象。
联立方程组，解出交点坐标即可求得递减区间为。
2.若函数在上为单调减函数，则实数的取值范围是___
解析】令，则，解之得。
题型二：奇偶性的应用。
3.已知函数为奇函数，，则___
解析】因为为奇函数，所以，于是，即。
所以。令，则。
两式相加得，所以。
4.已知偶函数在单调递增，，若，则的取值范围是___
解析】因为偶函数在单调递增，所以，解之得。
题型三：周期性的应用`
5.已知偶函数对均满足，且当时，，则___
解析】因为，所以，又因为，所以。
即，所以。6.已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是___
解析】由，得。
即是周期为2的周期函数。
由有4个根，得有4个根，即曲线与过定点的直线有4个交点。
由图象知，只需直线在过点的直线下方，且在轴的上方，即。
所以。题型四：对称性的应用。
7.定义在r上的函数是减函数，且函数的图象关于点中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是___
解析】由的图象关于点中心对称，知关于点中心对称，即奇函数。
则，即，即，其两根为，而，所以。
于是的解集为，即。而，所以，即。
8.定义在r上的奇函数满足，当时，，设，则方程的解集为___
解析】由，知的图象关于直线对称，又因为为奇函数，所以为周期函数，且t=4.
因为，，所以解集为。
题型五：综合应用。
9.已知函数，其中是自然对数的底数。
1）证明：是r上的偶函数；
2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
3）已知正数满足：存在，使得成立。试比较与的大小，并证明你的结论。
解析】（1）证：对，，∴是r上的偶函数。
2）由在恒成立，得在恒成立。
令，则。因为。
当且仅当，即时，.
所以，即。3）因为，所以当时，，∴在上单调增。
令，则。因为，所以，即在上单调减。
因为存在，使得，所以只需，即，即。
因为，令，则。
令，则。当时，，单调递增；
当时，，单调递减。
所以至多有两个零点，而，所以当时，，；
当时，，；当时，，.
4函数的性质
1 反函数 叙述反函数的概念，并与函数的概念进行比较。存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值，都有唯一的值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立 偶函数只有有反函数 周期函数一定不存在反函数。例题 函数在区间 1,2 上存在反函数的充要条件是。a b c d 答 d 求反函数的步骤...
考点4函数的性质
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