一、dirichlet函数。
它可由无穷次的累次极限运算得到 (其中m,n位置不可交换)
1).dirichlet函数的不连续性。
证明：对于任意，取，则有。
再取，则有。
由海涅定理可知不存在。
再由的任意性在任意点处的极限都不存在，故函数在任意点处都不连续。
注：1.由上述证明可知，的非连续性本质上说的是在任意点处的极限不存在，也就是说，对于任意，都是的第二类间断点，这也就说明了dirichlet函数的图像无法画出。
2.利用函数极限的cauchy准则亦可证明。
任取对于任意的，设；
存在，使得故不存在。
推广：利用dirichlet函数构造仅存在若干个连续点的函数。
1.函数在点处连续。
证明：对于任意，存在，当时， 即。故。
2.函数在点处连续。
2).dirichlet函数的不可导性。
由在任意点处的极限都不存在，即在任意点处都不连续可知，在任意点处都不可导。但由上述对连续性的推广可以大胆的猜想；是否存在仅在有限个点可导的函数？
1.函数仅在点处可导。
证明： 2.函数仅在点处可导。
3).dirichlet函数的不可积性。
证明：由的周期性，对dirichlet函数的可积性的讨论只需研究任意区间上的可积性，取，对于任意分割t,在属于t的任一小区间上。
当时，；当时，
不论t怎么取，只要的取法不同，积分和就存在不同的极限。
故在上不可积。
说明：可积一定有界，反之不成立。就是有界不可积的最好反例。
4).dirichlet函数的若干推论。
推论1：设在r上连续，，则的零点是仅有的连续点，即在任意处不连续。
推论2：设在r上连续，，若，且，则仅在处可导，且。
说明：推论2中条件“若，且”可改为“”
5).dirichlet函数构造的若干反例。
反例1.任何周期函数必有最小周期。
显然是周期函数，但不存在最小正周期。
反例2.无穷大量与有界量的乘积一定是无穷大量。
当时，是无穷大量，是有界量。但不是无穷大量。
反例3.函数在点连续，则在的某邻域内一定处处连续。
仅在处连续，在的任意邻域内有且仅有一个连续点。
二、riemann函数。
1).riemann 函数的连续性。
在内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续。
证明：设为无理数，任给 (不妨设)，满足。
的正整数显然只有有限个(但至少有一个，如)
从而使的有理数只有有限个，设为。
取，则对于任意，当为有理数时，有；当为无理数时，有。
对于任意，有，故在内任何无理点处都连续。
设为内任意有理数，则存在，使得对于任意，在内存在无理数，使得，故在内任何有理点处都不连续。
2).riemann 函数的可积性。
在内可积，且。
证明：任给，在上使得的有理点只有有限个，设为。
对作分割，使得，并把t中所有小区间分为和两类，其中。
为含有中点的所有小区间，这类小区间的个数 (当所有恰好都是t的分割点时，才有)；而为不含有中点的所有小区间。
在上的振幅， (1);
又在上的振幅， (2);
由(1)(2)得故在内可积。
取为无理数，则，从而。
三、weierstrass函数。
其中。处处连续而又处处不可导。
weierstrass函数图像如下，对于任意区间上，函数图像都不存在“曲线”
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