（2012北京昌平区期末）已知定义在上的函数满足= 1，为的导函数。已知的图象如图所示，若两个正数满足，则的取值范围是。
ab． cd．
a应为。2012北京昌平区期末）已知函数（）.
i）当时，求函数的单调区间；
ii）若不等式对恒成立，求a的取值范围。
解： 对函数求导得： …2分。
ⅰ)当时。令解得或。
解得。所以，单调增区间为和，单调减区间为 (-2 ,15分。
ⅱ) 令，即，解得或 6分。
当时，列表得：
………8分。
对于时，因为，所以，>010 分。
对于时，由表可知函数在时取得最小值。
所以，当时11分。
由题意，不等式对恒成立，所以得，解得13分。
2012北京昌平区期末）20. (本小题满分14分)
已知函数是奇函数，函数与的图象关于直线对称，当时， (为常数).
i）求的解析式；
ii）已知当时，取得极值，求证：对任意恒成立；
iii）若是上的单调函数，且当时，有，求证：.
20.（本小题满分14分）
解：(ⅰ当时，必有，则而若点在的图象上，则关于的对称点必在的图象上，即当时，由于是奇函数，则任取有且。
又当时，由必有。
综上，当时5分。
ⅱ）若时取到极值，则必有当时，即。
又由知，当时，，为减函数。
. …9分。
ⅲ）若在为减函数，则对任意皆成立，这样的实数不存在。
若为增函数，则可令。由于在上为增函数，可令，即当时，在上为增函数。
由， 设，则。
与所设矛盾。
若。则与所设矛盾。
故必有 ……14分。
2012北京朝阳区期末）设函数。
ⅰ）当时，试求函数在区间上的最大值；
ⅱ）当时，试求函数的单调区间。
解： （函数的定义域为1分。
当时，，因为， …3分。
所以函数在区间上单调递增，则当时，函数取得最大值
5分。6分。
当时，因为，所以函数在区间上单调递减；…7分。
当时，当时，即时，，所以函数在区间上单调递增9分。
当时，即时，由解得，
或10分。由解得11分。
所以当时，函数在区间上单调递增；在。
上单调递减，单调递增。 …13分。
2012北京东城区期末）（8）已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为。
（ab） （cd）
2012北京东城区期末）已知函数，其中．
ⅰ）求证：函数在区间上是增函数；
ⅱ）若函数在处取得最大值，求的取值范围．
2012北京东城区期末）已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，①方程有实数根；②函数的导数满足．
ⅰ）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；
ⅱ）集合中的元素具有下面的性质：若的定义域为，则对于任意，都存在，使得等式成立．试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根；
ⅲ）对任意，且，求证：对于定义域中任意的，，，当，且时，.
证明：（ⅰ因为且，所以．
所以函数在区间上是增函数6分。
ⅱ）由题意。
则。 …8分。
令，即。 ①
由于，可设方程①的两个根为，由①得，由于所以，不妨设，当时，为极小值，所以在区间上，在或处取得最大值；
当≥时，由于在区间上是单调递减函数，所以最大值为，综上，函数只能在或处取得最大值10分。
又已知在处取得最大值，所以≥，即≥，解得≤，又因为，所以13分。
解：（ⅰ因为①当时，所以方程有实数根0；，所以，满足条件；
由①②，函数是集合中的元素5分。
ⅱ）假设方程存在两个实数根， ，则，.
不妨设，根据题意存在，满足。
因为，，且，所以。
与已知矛盾。又有实数根，所以方程有且只有一个实数根10分。
ⅲ）当时，结论显然成立；
当，不妨设。
因为，且所以为增函数，那么。
又因为，所以函数为减函数，
所以。 所以，即。
因为，所以， （1）
又因为，所以， （2）
1）（2）得即。
所以。综上，对于任意符合条件的，总有成立。……14分。
2012北京丰台区期末）7．若函数在区间内有零点，则实数a的取值范围是。
2012北京丰台区期末）函数的导函数为，若对于定义域内任意， ，有恒成立，则称为恒均变函数．给出下列函数其中为恒均变函数的序号是 ．（写出所有满足条件的函数的序号）（1）（2）
2012北京丰台区期末）设函数在处取得极值．
ⅰ）求与满足的关系式；
ⅱ）若，求函数的单调区间；
ⅲ）若，函数，若存在，，使得成立，求的取值范围．
19.（本小题共14分）
已知函数在处取得极值．
ⅰ）求与满足的关系式；
ⅱ）若，求函数的单调区间；
ⅲ）若，函数，若存在，，使得成立，求的取值范围．
解2分。由得3分。
（ⅱ）函数的定义域为4分。
由（ⅰ）可得．
令，则6分。
因为是的极值点， 所以，即7分。
所以当时，所以单调递增区间为，，单调递减区间为8分。
当时，所以单调递增区间为，，单调递减区间为9分。
（ⅲ）当时，在上为增函数，在为减函数，所以的最大值为10分。
因为函数在上是单调递增函数，所以的最小值为11分。
所以在上恒成立12分。
要使存在，，使得成立，只需要，即，所以13分。
又因为， 所以的取值范围是14分。
2012广州期末调研。
定义：若函数的图像经过变换后所得图像对应函数的值域与的值域相同，则称变换是的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换，其中不属于的同值变换的是。
a．，将函数的图像关于轴对称。
b．，将函数的图像关于轴对称
c．，将函数的图像关于点对称。
d．，将函数的图像关于点对称。
2012广州期末调研。
已知函数．1）若为的极值点，求实数的值；
2）若在上为增函数，求实数的取值范围；
3）当时，方程有实根，求实数的最大值．
解：（1）．…1分。
因为为的极值点，所以2分。
即，解得3分。
又当时，，从而的极值点成立4分。
2）因为在区间上为增函数，所以在区间上恒成立．……5分。
①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故。
符合题意6分。
当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以上恒成立7分。
令，其对称轴为8分。
因为所以，从而上恒成立，只要即可，因为，解得9分。
因为，所以．
综上所述，的取值范围为10分。
3）若时，方程可化为，．
问题转化为在上有解，即求函数的值域11分。
以下给出两种求函数值域的方法：
方法1：因为，令，则12分。
所以当，从而上为增函数，当，从而上为减函数13分。
因此．而，故，因此当时，取得最大值014分。
方法2：因为，所以．
设，则．当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
因为，故必有，又，因此必存在实数使得，，所以上单调递减；
当，所以上单调递增；
当上单调递减；
又因为，当，则，又．
因此当时，取得最大值014分。
2012佛山期末调研）设，函数。
1) 若，求曲线在处的切线方程；
2) 若无零点，求实数的取值范围；
3) 若有两个相异零点，求证： .
解：方法一在区间上1分。
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