一、选择题(共6个小题,每小题5分,满分30分)
1.函数y=2x2-(a-1)x+3在(-∞1]内递减,在(1,+∞内递增,则a的值是( )
a.1b.3 c.5d.-1
解析:依题意可得对称轴x==1,∴a=5.
答案:c2.已知函数f(x)为r上的减函数,则满足f(|x|)a.(-1,1) b.(0,1) c.(-1,0)∪(0,1) d.(-1)∪(1,+∞
解析:∵f(x)为r上的减函数,且f(|x|)∴x|>1,∴x<-1或x>1.
答案:d3.定义新运算⊕:当a≥b时,a⊕b=a;当aa.-1b.1 c.6d.12
解析:由题意知。
当-2≤x≤1时,f(x)=x-2,当1<x≤2时,f(x)=x3-2,又∵f(x)=x-2,f(x)=x3-2在定义域上都为增函数,f(x)的最大值为f(2)=23-2=6.
答案:c4.定义在r上的偶函数f(x)满足:对任意x1,x2∈[0,+∞x1≠x2),有<0,则( )
a.f(3)解析:对任意x1,x2∈[0,+∞x1≠x2),有<0,实际上等价于函数f(x)在[0,+∞上是减函数,故f(3)答案:a
5.已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在区间[3,5]上单调递增,则函数f(x)在区间[1,3]上的( )
a.最大值是f(1),最小值是f(3) b.最大值是f(3),最小值是f(1)
c.最大值是f(1),最小值是f(2) d.最大值是f(2),最小值是f(3)
解析:依题意得f(x)的图象关于直线x=1对称,f(x+1)=-f(x-1),f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)是以4为周期的函数.由f(x)在[3,5]上是增函数与f(x)的图象关于直线x=1对称得,f(x)在[-3,-1]上是减函数.又函数f(x)是以4为周期的函数,因此f(x)在[1,3]上是减函数,f(x)在[1,3]上的最大值是f(1),最小值是f(3).
答案:a6.已知y=f(x)是定义在r上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( )
y=f(|x|);y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.
abcd.②④
解析:由奇函数的定义验证可知②④正确.
答案:d7.若函数f(x)=ax+(a∈r),则下列结论正确的是( )
a.a∈r,函数f(x)在(0,+∞上是增函数 c.a∈r,函数f(x)为奇函数。
b.a∈r,函数f(x)在(0,+∞上是减函数 d.a∈r,函数f(x)为偶函数。
解析:当a=1时,函数f(x)在(0,1)上为减函数,a错;当a=1时,函数f(x)在(1,+∞上为增函数,b错;d选项中的a不存在.
答案:c8.已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )
a.f(-25)<f(11)<f(80b.f(80)<f(11)<f(-25)
c.f(11)<f(80)<f(-25d.f(-25)<f(80)<f(11)
解析:∵f(x-4)=-f(x),∴t=8.
又f(x)是奇函数,∴f(0)=0.
f(x)在[0,2]上是增函数,且f(x)>0,f(x)在[-2,0]上也是增函数,且f(x)<0.
又x∈[2,4]时,f(x)=-f(x-4)>0,且f(x)为减函数.
同理f(x)在[4,6]为减函数且f(x)<0.如图.
f(-25)=f(-1)<0,f(11)=f(3)>0,f(80)=f(0)=0,∴f(-25)<f(80)<f(11).
答案:d9.定义在r上的偶函数f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )
a.y=x2+1b.y=|x|+1 c.y=d.y=
解析:利用偶函数的对称性知f(x)在(-2,0)上为减函数.又y=x2+1在(-2,0)上为减函数;y=|x|+1在(-2,0)上为减函数;y=在(-2,0)上为增函数,y=在(-2,0)上为减函数.
答案:c10.若函数f(x)为奇函数,且在(0,+∞内是增函数,又f(2)=0,则<0的解集为( )
a.(-2,0)∪(0,2b.(-2)∪(0,2)
c.(-2)∪(2d.(-2,0)∪(2,+∞
解析:因为函数f(x)为奇函数,且在(0,+∞内是增函数,f(2)=0,所以x>2或-20;x<-2或0答案:a
二、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)
11.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是___
解析:y=-(x-3)|x|
作出该函数的图象,观察图象知递增区间为[0,].
答案:[0,]
12.设x1、x2为方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根,当m=__时,x+x有最小值___
解析:由根与系数的关系得:x1+x2=m,x1x2=,x+x=(x1+x2)2-2x1x2=m2-=2-.
又x1,x2为实根,∴δ0,∴m≤-1或m≥2,y=2-在区间(-∞1]上是减函数,在[2,+∞上是增函数,又抛物线y开口向上且以m=为对称轴,故m=-1时,ymin=.
答案:-1
13.已知函数f(x)=若f(x)在(-∞上单调递增,则实数a的取值范围为___
解析:由题意得解得2答案:(2,3]
14.已知函数f(x)=x2+(m+2)x+3是偶函数,则m
解析:本题考查了函数的奇偶性f(x)为偶函数,则m+2=0,m=-2.
答案:-215.已知函数f(x)为r上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+1).若f(a)=-2,则实数a
解析:令x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x(1-x),又f(x)为奇函数,所以当x<0时有f(x)=x(1-x),令f(a)=a(1-a)=-2,得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2(舍去).
答案:-116.已知f(x)是定义在r上的偶函数,并满足f(x+2)=-当1≤x≤2时,f(x)=x-2,则f(6.5
解析:由f(x+2)=-得f(x+4)=-f(x),那么f(x)的周期是4,得f(6.5)=f(2.
5).因为f(x)是偶函数,得f(2.5)=f(-2.5)=f(1.
5).而1≤x≤2时,f(x)=x-2,∴f(1.5)=-0.5.
由上知:f(6.5)=-0.5.
答案:-0.5
三、解答题(共3小题,满分35分)
17.求函数f(x)=x+(a>0)的单调区间.
解:∵函数的定义域为,设x1、x2≠0,且x1f(x1)-f(x2)=x1+-x2-
(x1-x2)+=
1)当x1x1-x2<0,x1·x2>a2,f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)∴f(x)在(-∞a]上和在[a,+∞上都是增函数.
2)当-a≤x100,∴f(x1)>f(x2),f(x)在[-a,0)和(0,a]上都是减函数.
18.已知函数f(x)=a-.
1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞上是增函数;
2)若f(x)<2x在(1,+∞上恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)证明:当x∈(0,+∞时,f(x)=a-,设00,x2-x1>0.
f(x1)-f(x2)=(a-)-a-)=
f(x1)即f(x)在(0,+∞上是增函数.
2)由题意a-<2x在(1,+∞上恒成立,设h(x)=2x+,则a<h(x)在(1,+∞上恒成立.
可证h(x)在(1,+∞上单调递增.
故a≤h(1),即a≤3,∴a的取值范围为(-∞3].
19.定义在r上的函数f(x)满足对任意x、y∈r恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒为0.
1)求f(1)和f(-1)的值;
2)试判断f(x)的奇偶性,并加以证明;
3)若x≥0时f(x)为增函数,求满足不等式f(x+1)-f(2-x)≤0的x的取值集合.
解:(1)令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1).
f(1)=0.
令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1).
f(-1)=0.
2)令y=-1,由f(xy)=f(x)+f(y),得。
f(-x)=f(x)+f(-1).
又f(-1)=0,∴f(-x)=f(x),又f(x)不恒为0,∴f(x)为偶函数.
3)由f(x+1)-f(2-x)≤0,知f(x+1)≤f(2-x).
又由(2)知f(x)=f(|x|),f(|x+1|)≤f(|2-x|).
又∵f(x)在[0,+∞上为增函数,∴|x+1|≤|2-x|.
故x的取值集合为。
20.判断下列函数的奇偶性.
1)f(x)=;
2)f(x)=
解:(1)由得定义域为(-1,0)∪(0,1),这时f(x)==
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