函数性质的应用

一、选择题。

1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( )

a．y＝log3x b．y＝3|x|

c．y＝x d．y＝x3

2．已知函数f(x)是r上的偶函数，g(x)是r上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2 014)的值为( )

a．2 b．0

c．－2 d．±2

3．(2017·西安质检)设f(x)是定义在实数集上的函数，且f(2－x)＝f(x)，若当x≥1时，f(x)＝

lnx，则有( )

a．fc．f4．已知函数f(x)＝(x2－ax＋3a)在[1，＋∞上单调递减，则实数a的取值范围是( )

a．(－2] b．[2，＋∞

c. d.

5．(2016·威海模拟)已知函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞上单调递增，则。

f(2－x)>0的解集为( )

a． b． d．，且y＝f(x＋2)是偶函数，当x<2时，f(x)＝|2x－1|，那么当x>2时，函数f(x)的递减区间是。

12．(2016·武汉调研)已知函数f(x)＝alog2|x|＋1(a≠0)，定义函数f(x)＝给出下列命题：

f(x)＝|f(x)|；

函数f(x)是奇函数；

当a>0时，若x1x2<0，x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)>0成立；

当a<0时，函数y＝f(x2－2x－3)存在最大值，不存在最小值．

其中所有正确命题的序号是___

答案精析。1．d [根据对数函数的图象知y＝log3x是非奇非偶函数；y＝3|x|是偶函数；y＝是非奇非偶函数；y＝x3是奇函数，且在定义域r上是单调函数，所以d正确．]

2．a [∵g(－x)＝f(－x－1)，－g(x)＝f(x＋1)．

又g(x)＝f(x－1)，f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，f(2 014)＝f(2)＝2.]

3．c [由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以f＝f，f＝f，又当x≥1时，f(x)＝lnx，单调递增，所以f4．d [令t＝g(x)＝x2－ax＋3a，易知f(t)＝t在其定义域上单调递减，要使f(x)＝(x2－ax＋3a)在[1，＋∞上单调递减，则t＝g(x)＝x2－ax＋3a在[1，＋∞上单调递增，且t＝g(x)＝x2－ax＋3a>0，即。

所以即－5．c [由题意可知f(－x)＝f(x)，则(－x－2)(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，即(2a－b)x＝0恒成立，故2a－b＝0，即b＝2a.则f(x)＝a(x－2)(x＋2)．

又函数在(0，＋∞上单调递增，所以a>0.

f(2－x)>0，即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.故选c.]

6．b [不妨设a≤x10f(x1)>f(x2)f(x)在区间[a，b]上为减函数f(x)在区间[a，b]上有最大值f(a)，故选b.]

7．c [由x1x2<0，不妨设x1<0，x2>0.

x1＋x2<0，∴x1<－x2<0.

由f(x)＋f(－x)＝0，知f(x)为奇函数，又由f(x)在(－∞0)上单调递增，得。

f(x1)所以f(x1)＋f(x2)<0.故选c.]

8．c [在f(x＋1)＝f(3＋x)中，以x－1代换x，得f(x)＝f(2＋x)，所以①正确；设p(x1，y1)，q(x2，y2)是y＝f(x)上的两点，且x1＝x＋1，x2＝3－x，有＝2，由f(x1)＝f(x2)，得y1＝y2，即p，q关于直线x＝2对称，所以②正确；函数y＝f(x＋1)的图象由y＝f(x)的图象向左平移1个单位得到，而y＝f(3－x)的图象由y＝f(x)的图象关于y轴对称得y＝f(－x)，再向右平移3个单位得到，即y＝f[－(x－3)]＝f(3－x)，于是y＝f(x＋1)与函数y＝f(3－x)的图象关于直线x＝＝1对称，所以③错误；设p(x，y)是函数f(x)图象上的任意一点，点p关于原点的对称点p′(－x，－y)必在y＝的图象上，有－y＝，即y＝，于是f(x)＝，所以④正确．]

9．－x2＋22x－120

解析 ∵f(x)在r上是周期为4的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．由f(x＋4)＝f(x)，可得f(x－12)＝f(x)．设－2≤x≤0，则0≤－x≤2，f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，当10≤x≤12时，－2≤x－12≤0，f(x)＝f(x－12)＝－x－12)2－2(x－12)＝－x2＋22x－120.

解析对于①，∵f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，∴当x＝－2时，f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，∴f(－2)＝0，又f(x)是偶函数，∴f(2)＝0，∴①正确；对于②，∵f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，f(2)＝0，f(x＋4)＝f(x)，∴函数y＝f(x)的周期t＝4，又直线x＝0是函数y＝f(x)图象的对称轴，直线x＝－4也为函数y＝f(x)图象的一条对称轴，②正确；对于③，∵函数f(x)的周期是4，y＝f(x)在[8,10]上的单调性与在[0,2]上的单调性相同，∴y＝f(x)在[8,10]上单调递减，③错误；对于④，∵直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的对称轴，∴＝4，x1＋x2＝－8，∴④正确．

解析 ∵y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，则函数f(x)关于直线x＝2对称，则f(x)＝f(4－x)．若x>2，则4－x<2，∵当x<2时，f(x)＝|2x－1|，当x>2时，f(x)＝f(4－x)＝|24－x－1|，则当x≥4时，4－x≤0,24－x－1≤0，此时f(x)＝|24－x－1|＝1－24－x＝1－16·x，此时函数递增，当20,24－x－1>0，此时f(x)＝|24－x－1|＝24－x－1＝16·x－1，此时函数递减，∴函数的递减区间为(2,4]．

解析 ①因为|f(x)|＝而f(x)＝这两个函数的定义域不同，不是同一函数，即f(x)＝|f(x)|不成立，①错误．②当x>0时，f(x)＝f(x)＝alog2|x|＋1，－x<0，f(－x)＝－f(－x)＝－alog2|－x|＋1)＝－alog2|x|＋1)＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝－f(x)＝－alog2|x|＋1)，－x>0，f(－x)＝f(－x)＝alog2|－x|＋1＝alog2|x|＋1＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，②正确．③当a>0时，f(x)＝f(x)＝alog2|x|＋1在(0，＋∞上是单调增函数．若x1x2<0，x1＋x2>0，不妨设x1>0，则x2<0，x1>－x2>0，所以f(x1)>f(－x2)>0，又因为函数f(x)是奇函数，－f(x2)＝f(－x2)，所以f(x1)＋f(x2)>0，③正确．④函数y＝f(x2－2x－3)＝

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