函数的性质(1)
一。 单调性。
1)定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。
2)判定方法有：
a.定义法（作差比较和作商比较）
b.导数法（适用于多项式函数）
c.复合函数法和图像法。
3).应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
二。奇偶性。
1)定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。
f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为奇函数。
2)判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法。
3)应用：把函数值进行转化求解。
三。周期性。
1)定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+t)=f(x),则t为函数f(x)的周期。
其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期。
2)应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。
练习：1.下列函数中，在区间上是增函数的是（ b ）
a b c d
2．函数的递减区间为 ( b )
a.（1，+）b.（－c.（，d.（－
3.若函数，则该函数在上是a ）
a．单调递减；无最小值b．单调递减；有最小值。
c．单调递增；无最大值d．单调递增；有最大值。
4.已知函数若则实数。
的取值范围是 ( c )
a b c d
考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
解析：由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择c。
5.已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 .
解析考查指数函数的单调性。
函数在r上递减。由得：m6.若函数在上是增函数，则的取值范围是___
7.求函数f(x)=的单调区间，并证明其单调性。
【解法一】：f(x)的定义域为r,在定义域内任取，则。
其中〈0，〉0，〉0.
1)当∈[-1，1]时，即||〈1，||1,所以，||1，则〈1，1-〉0， -0, <
所以，f(x)为减函数。
2）当，∈（1］,［时，1-＜０
所以，f(x)为减函数。
综上所述，f(x)在[-1，1]上是增函数，在（-∞1］和［１，上是减函数。
解法二】：f(x)的定义域为r, =
令〉0，得-1<0,得x>1 或x<-1.
f(x)的单调增区间是[-1，1]，单调减区间是（-∞1］，［
点评：】（1）判断或证明函数的单调性常用的思路主要有：用函数单调性的定义；求导数，在判断导函数在所要求讨论的区间上的符号；利用复合函数的单调性等。
2）利用定义时，要注意1-的正负判断。1- 形式的判断，一般设=，再令=0得=±1，从而找到分界点。
8．定义在上的函数为减函数，求满足不等式的的值的集合。
又定义在上的减函数，即。
所以，满足题意的取值的集合为．
点评：】这是抽象函数的单调性问题，首先应该注意函数的定义域不能扩大或缩小，再是通过合理变形，根据单调性，脱去“f”，得到具体的数学式，然后进行求解或论证。
9.已知函数。
1）若是增函数，求a的取值范围；（2）求上的最大值。
解：（1）综上，a的取值范围是。
当。综上所述：①
点评】利用导数研究函数的单调性，要注意导函数的正负情况，求函数的最值，给出函数极大（小）值的条件，一定既要考虑=0，又要考虑检验“左正右负”（”左负右正” ）的转化，否则条件没有用完，这一点要注意。
10．判断下列函数的奇偶性：
1）函数定义域为r，∴f(x)为偶函数；
（另解）先化简：，显然为偶函数；
从这可以看出，化简后再解决要容易得多。
2）须要分两段讨论：设。设。
当x=0时f(x)=0，也满足f (－x)=－f (x)；
由①、②知，对x∈r有f (－x) =f (x)， f (x)为奇函数；
3），∴函数的定义域为，f(x)=log21=0(x=±1) ，即f(x)的图象由两个点 a（－1，0）与b（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数；
11.函数是 ( d )
a．奇函数 b.偶函数 c.既是奇函数又是偶函数 d.非奇非偶函数。
12.已知是偶函数，定义域为。则___0
13.若是奇函数，则。
解析解法114.设函数是奇函数。 若，则 .-3
15.已知函数是定义在上的偶函数。 当时，则当时， -x-x4.
16.已知函数为上的奇函数，当时，.若，则实数。
17.若函数，则下列结论正确的是（ ）
a.，在上是增函数 b.，在上是减函数。
c.，是偶函数 d.，是奇函数。
18已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是 ( a )
a）（，b.［，c.（，d.［，
19.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为 （ c ）
a． b． c． d．
20.已知定义域为r的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则 （ d ）
a. b. c. d.
21.函数对于任意实数满足条件，若则。
22.定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数，则。
等于b )a.-1b.0c.1d.4
23.设f(x)是定义在r上的函数，且在。
-∞，上是增函数，又f(x)=f(x)-f(-x)，那么f(x)一定是a )
a.奇函数，且在(-∞上是增函数 b.奇函数，且在(-∞上是减函数。
c.偶函数，且在(-∞上是增函数 d.偶函数，且在(-∞上是减函数
24.已知函数，在r上有定义，对任意的有且。
1）求证：为奇函数。
2）若， 求的值。
解（1）对，令x=u-v则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-f(u)g(v)-
g(u)f(v)]=f(x4分。
2）f(2)=f=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1)
f(2)=f(1)≠0
g(-1)+g(1)=18分。
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