基础巩固。
一、选择题。
1．对于定义域是r的任意奇函数f(x)，都有( )
a．f(x)－f(－x)＞0 b．f(x)－f(－x)≤0 c．f(x)·f(－x)≤0 d．f(x)·f(－x)＞0
答案] c解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－f(x)]2.又f(0)＝0，∴－f(x)]2≤0，故选c.
2．下列函数是偶函数的是( )
a．y＝2x2－3 b．y＝x3 c．y＝x2，x∈[0,1] d．y＝x
答案] a解析] 对a项：f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，∴f(x)是偶函数，b、d项都为奇函数，c项中定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故选a.
3．下列说法正确的是( )
a．偶函数的图象一定与y轴相交b．奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0
c．奇函数y＝f(x)的图象一定过原点 d．图象过原点的奇函数必是单调函数。
答案] b解析] a项中若定义域不含0，则图象与y轴不相交，c项中定义域不含0，则图象不过原点，d项中奇函数不一定单调，故选b.
4．函数f(x)＝－x的图象关于( )
a．y轴对称 b．直线y＝－x对称 c．坐标原点对称 d．直线y＝x对称。
答案] c解析] ∵f(x)＝－x(x≠0)，∴f(－x)＝－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，所以f(x)＝－x的图象关于原点对称，故选c.
5．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )
abc. d．1
答案] a解析] 方法一：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴即(2x－1)(x＋a)＝(2x＋1)(x－a)恒成立，整理得(2a－1)x＝0，∴必须有2a－1＝0，∴a＝，故选a.
方法二：由于函数f(x)是奇函数，所以必有f(－1)＝－f(1)，即＝－，即1＋a＝3(1－a)，解得a＝，故选a.
6．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx( )
a．是奇函数但不是偶函数 b．是偶函数但不是奇函数。
c．既是奇函数又是偶函数 d．既非奇函数又非偶函数。
答案] a解析] ∵f(－x)＝f(x)，∴a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c对x∈r恒成立．∴b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝－g(x)．
二、填空题。
7．(2015·广东深圳期末)设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是___
答案] 4解析] ∵f(x)是奇函数，∴g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝4.
8．定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝，则常数m、n的值分别为___
答案解析] 由题意知f(0)＝0，故得m＝0.由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，即＝－，x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0.
三、解答题。
9．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
解析] f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2
又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得： f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
10．已知f(x)是定义在r上的函数，对任意的x，y∈r都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.
1)求证：f(0)＝1.
2)判断函数的奇偶性．
解析] (1)令x＝y＝0,2f(0)＝2f(0)2，因f(0)≠0，则f(0)＝1.
2)令x＝0，有f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)，则f(－y)＝f(y)，∴f(x)是偶函数．
能力提升。一、选择题。
1．设f(x)是定义在r上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
a．f(x)f(－x)是奇函数 b．f(x)|f(－x)|是奇函数。
c．f(x)－f(－x)是偶函数 d．f(x)＋f(－x)是偶函数。
答案] d解析] 由函数奇、偶性的定义知d项正确．
2．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a的值为( )
a．－2b．－1c．1 d．2
答案] c解析] ∵f(x)是定义在r上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)，∴2(1－a)＝0，∴a＝1，故选c.
3．(2015·河北衡水中学期中)已知f(x)＝x5－2ax3＋3bx＋2，且f(－2)＝－3，则f(2)＝(
a．3b．5c．7 d．－1
答案] c解析] 令g(x)＝x5－2ax3＋3bx，则g(x)为奇函数，∴f(x)＝g(x)＋2，f(－2)＝g(－2)＋2＝－g(2)＋2＝3，∴g(2)＝5，f(2)＝g(2)＋2＝7.
4．若定义在r上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈r，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是( )
a．f(x)为奇函数 b．f(x)为偶函数 c．f(x)＋1为奇函数 d．f(x)＋1为偶函数。
答案] c解析] 令x1＝x2＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，∴f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＋1，∴f(－x)＋1＝－f(x)－1，∴f(x)＋1为奇函数．
二、填空题。
5．已知y＝f(x)是定义在r上的奇函数，则下列函数：①y＝f(|x|)；y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x中奇函数为___填序号)．
答案解析] ∵f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；
f(－x)＝－f(x)，令g(x)＝－f(x)，则g(－x)＝－f(－x)＝f(x)＝－g(x)，∴为奇函数；令f(x)＝xf(x)，则f(－x)＝(x)f(－x)＝xf(x)＝f(x)，故③是偶函数；令h(x)＝f(x)＋x，则h(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－h(x)，故④是奇函数．
6．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是___
答案] 0 [解析] ∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称．若y轴右侧的两根为x1，x2，则y轴左侧的两根为－x1，－x2，∴四根和为0.
三、解答题。
7．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝
1)确定函数f(x)的解析式；
2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．
分析] 利用奇函数的性质：若在原点有定义，则f(0)＝0，以及已知条件f()＝求得a、b的值，从而确定解析式．
解析] (1)根据题意得即。
解得∴f(x)＝.
2)证明：任取x1，x2∈(－1,1)，且令x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝－
－1＜x1＜x2＜1，x1－x2＜0,1＋x＞0,1＋x＞0,1－x1x2＞0，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，f(x)在(－1,1)上是增函数．
点拨] (1)函数的奇偶性、单调性是函数的两个重要性质，在解答问题时，要善于应用函数的观点，挖掘函数的奇偶性和单调性，并注意两者的联系．
2)函数的单调性、奇偶性常与其他性质结合在一起进行命题，此类考查形式是常考点，应引起足够的重视．
8．已知f(x)是定义在r上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈r都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)．
1)求f(0)，f(1)的值；
2)判断f(x)的奇偶性，并证明仍然的结论．
解析] (1)令a＝b＝0，则f(0×0)＝0×f(0)＋0×f(0)＝0，f(0)＝0.
令a＝b＝1，则f(1×1)＝f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
2)f(x)是奇函数．
证明：∵f(1)＝f[(－1)2]＝－f(－1)－f(－1)＝0，f(－1)＝0.
令a＝－1，b＝x，则f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)．
故f(x)为奇函数．
函数的基本性质
函数的基本性质2011.07 班级姓名学号成绩。一。填空题。1.函数y 3 的值域是。答案 2 提示 y 3 当x 1时，ymax 2.又在 1，中是增函数，因此y无最小值，故y 2 2.函数y x 1 的最小值是。答案 2.提示 y x 1 2 2 当且仅当x 时等号成立 3.函数y 的值域为。答...
函数的基本性质
单调性，奇偶性，最值，周期性。例1 证明函数f x 3x 2在r上是增函数。证明 设任意x1 x2 r，且x1 x2，则f x1 f x2 3x1 2 3x2 2 3 x1 x2 由x1 x2得x1 x2 0.f x1 f x2 0，即f x1 f x2 f x 3x 2在r上是增函数。例2 证明函...
函数的基本性质
高考成绩的取得 于平时对基础知识的巩固 审题及计算能力的培养 解题思想及方法的总结。胶南五中2011 2012学年度第一学期高三数学 文科 学案命题人 崔伟审核人 周斌。使用时间年月日二次批阅时间班级 姓名 课题函数及其基本性质编号 18 学习要求 1 了解映射的概念，理解函数的概念 数学探索版权所...