函数的性质（单调性）
教学重点与难点。
教学重点：函数单调性的概念．
教学难点：函数单调性的判定．
观察下面两组在相应区间上的函数，指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？
第一组：当时，都有”描述了y随x的增大而增大。
第二组：当时，都有”描述了y随x的增大而减少。
图中对于区间[a，b]上的任意，，当时，都有，因此在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数的单调增区间；而图中对于区间[a，b]上的任意，，当时，都有，因此在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数的单调减区间．因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……
减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．
在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．
我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？
我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？
概念的应用。
例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？
例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞上是增函数．
对于和我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．
证明思路：设，是（-∞内任意两个自变量，并设（①→设），然后看，这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（②作差，变形）．“定符号”“④下结论”这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤。
如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以。
小。调函数吗？并用定义证明你的结论．例4数。
b ＞0．由此可知（*）式小于0，即。
函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．
随堂训练。一、选择题：
1．在区间(0，＋∞上不是增函数的函数是。
a ．y =2x ＋1
b ．y =3x 2
c ．y =x
d ．y =2x 2
x ＋12．函数f (x )=4x 2
mx ＋5在区间［－2，＋∞上是增函数，在区间(－∞2)上是减函。
数，则f (1)等于a ．－7 b ．1 c ．17 d ．25
3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ a ．(3，8) b ．(7，－2) c ．(2，3) d ．(0，5)
4．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ）a ．至少有一实根 b ．至多有一实根 c ．没有实根 d ．必有唯一的实根。
5．已知定义域为r 的函数f (x )在区间(－∞5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )
f (5－t )，那么下列式子一定成立的是a ．f (－1)＜f (9)＜f (13) b ．f (13)＜f (9)＜f (－1) c ．f (9)＜f (－1)＜f (13) d ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 6.函数)2()(x x x g x x f -=和的递增区间依次是。
a ．]1,(]0,(-
b ．)1,0,(+
c ．]1,()0[-∞
d ),1[),0[+∞
7．已知函数()(2212f x x a x =+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）a ．a ≤3 b ．a ≥－3 c ．a ≤-3 d ．a ≥3
8．定义在r 上的函数y =f (x )在(－∞2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则（ ）a ．f (－1)＜f (3) b ．f (0)＞f (3) c ．f (－1)=f (－3) d ．f (2)＜f (3) 二、填空题：
9、函数y =(x －1)2
的减区间是。
10、函数y =x －2x -1＋2的值域为11、设(
y f x =是。
r 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间。
为12、函数f (x ) ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞上递减，则a 的取值范围是。
三、解答题：
13、已知函数1
),f x x x
+证明函数在[1,)+上是增函数。
14、已知函数()f x 是区间()0,+∞上的减函数，那么23(1)4f a a f
与的大小关系如何？
15、己知：()f x 是定义在[1,5]-的减函数，且2(2)(41)f x f x +>求x 的取值范围。
16、已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围。
17、已知f (x )在其定义域r ＋
上为增函数，f (2)=1，f (xy )=f (x )+f (y )，解不等式，f (x )+f (x －2) ≤3
18、f (x )是定义在( 0，＋∞上的增函数，且f (y
x = f (x )－f (y1）求f (1)的值．
2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x
19、已知函数f (x )对于任意x ，y ∈r ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2，求证：f (x )在r 上是减函数；
20、已知定义在区间（0，+∞上的函数f(x)满足f(
1x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值； （2）判断f(x ）的单调性；
21、已知函数f （x ）对于任意m ，n ∈r ，都有f （m+n ）=f （m ）+f （n ）-1，并且当x ＞0时f （x ）＞1．
1）求证：函数f （x ）在r 上为增函数；
2）若f （3）=4，解不等式f （a 2+a-5）＜2．
22.已知函数f (x )=x
a x x ++22，x ∈［1，＋∞1）当a =2
1时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意x ∈[1，＋∞f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．
函数的单调性
高一数学编号 sx 10 01 010 函数的单调性 导学案。撰稿 张圣涛审核 胡武卫时间 2011 9 15 姓名班级 组别 组名。学习目标 1.建立增减函数的概念，通过观察一些函数图象的升降，形成增 减 函数的直观认识，再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大而增大 减小 的规律，由...
10函数的单调性
1 3 1 函数的单调性。教学目标 1 理解函数的单调性及几何意义 2 学生通过观察 归纳 抽象 概括，自主建构单调增函数 单调减函数等概念 3 会用单调性的定义证明函数的单调性 4 领会数形结合的数学思想方法，借助于图像求函数的单调区间 5 在函数单调性的学习过程中，学生体验数学的科学价值和应用价...
函数的单调性 二
2.6函数的单调性 二 复习目标 1 能利用函数单调性讨论函数的性质，解决有关问题 2 综合利用函数单调性 奇偶性 图象等讨论解决有关问题。重点难点 综合利用函数单调性 奇偶性 图象等讨论解决有关问题。课前预习 1 函数 为增函数的区间是。a b c d 2 函数当时为增函数，当是减函数，则。等于 ...