函数作业4： 函数单调性。
知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间。
4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用。
典型例题】例1．(1)则a的范围为( d)
a． b． c． d．
提示：21<0时该函数是r上的减函数。
2)函数)是单调函数的充要条件是( a )
a． b． c． d．
提示：考虑对称轴和区间端点。结合二次函数图象。
3)已知在区间上是减函数，且，则下列表达正确的是（ d ）
a． b．
c． d．
提示：可转化为和在利用函数单调性可得。
4) 如下图是定义在闭区间上的函数。
的图象，该函数的单调增区间为 [-2,1]和[3,5]
提示：根据图象写出函数的单调区间。注意区间不能合并。
(5) 函数的单调减区间是
提示：结合二次函数的图象，注意函数的定义域。
例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间。
解：(1) 即。
如图所示，单调增区间为，单调减区间为。
2）当，函数。
当，函数。即。
如图所示，单调增区间为，单调减区间为。
例3．根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．
证明：设。则，且在与中至少有一个不为0，不妨设，那么，
故在上为减函数。
例4.设是定义在r上的函数，对、恒有，且当时，。
1）求证2）证明：时恒有；
3）求证：在r上是减函数； （4）若，求的范围。
解：(1)取m=0，n=则，因为所以。
(2)设则。
由条件可知。
又因为，所以。
时，恒有。3）设则。
因为所以所以即。
又因为，所以。
所以，即该函数在r上是减函数。
4) 因为，所以。
所以，所以。
课内练习】1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(d ).
a． b． c． d．
提示：根据函数的图象。
2.函数的增区间是（a ）.
a． [3, 1] b． [1,1] c． d．
提示：注意函数的定义域。
3.在上是减函数，则的取值范围是（a ）.
a． b． c． d．
提示：考查二次函数图象的对称轴和区间端点。
4．若函数在区间[,b]上具有单调性，且，则方程在区间[，b]上（d）a．至少有一个实数根 b．至多有一个实数根 c．没有实数根 d．必有唯一的实数根。
提示：借助熟悉的函数图象可得。
5. 函数的单调增区间是___单调减区间___
提示：画出二次函数的图象，考虑函数对称轴。
6．若当时是增函数，当时是减函数，则13
提示：由题可知二次函数的对称轴是可求出m的值。
7．已知在定义域内是减函数，且》0，在其定义域内下列函数为单调增函数的为 ②③
（为常数）；②为常数）；③
提示：借助复合函数的单调性。
8．函数上的最大和最小值的和为，则=
提示：是[0,1]上的增函数或减函数，故，可求得=
9．设是定义在上的单调增函数，满足。
求：（1）f（1）；（2）当时x的取值范围。
解：(1) 令可得 (2)又2=1+1=
由，可得。因为是定义在上的增函数，所以有且且，解得：
10．求证：函数在上是增函数。
证明：设则。
当时， ,所以。
所以函数在上是增函数。
作业本。a组。
1.下列四个函数其中在上为减函数的是（ a ）。
（a）① b）④ c）①、d）①、
2.函数在和都是增函数，若，且那么（ d ）
a． b． c． d．无法确定。
3. 已知函数是定义在上的减函数，若，实数的取值范围为( b )
a. b. c. d.
4.已知，函数的单调递减区间为
5.函数在上的值域为
6.判断函数(≠0)在区间(－1，1)上的单调性。
解：设， 则。
＝,0,∴ 当时， ,函数在(－1, 1)上为减函数，当时， ,函数在(－1, 1)上为增函数。
7.作出函数的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间。
解：当时，
当时， 由函数图象可以知道函数增区间为。
函数减区间为。
8.设是定义在上的增函数，，且，求满足不等式的的取值范围。
解：由题意可知：
又，于是不等式可化为。
因为函数在上为增函数，所以不等式可转化为：,解得：
所以的取值范围是。
b组。1.函数的单调递减区间为( a )
a. b. c. d.
2.单调增函数对任意，满足恒成立，则k的取值范围是b ）
a． b． c． d．
3.函数y＝的单调递增区间为（ a ）
a． b． c． d．
4.函数y＝的递减区间是 (―1)、(1, ＋函数y＝的递减区间是 (－1, ＋1]
5.已知函数在[0, π上是递减函数，那么下列三个数。
从大到小的顺序是()>
6.(1) 证明：函数在上是增函数，2)并判断函数在上的单调性。
3)求函数在区间[1，4]上的值域。
证明：(1)设，则由已知，有。
因为 ，所以，即。
所以函数在上是增函数。
(2)在上都是增函数，所以，即在上是增函数。
3)由(2)可以知道该函数在区间[1,4]上为增函数。
则由函数单调性可以知道，该函数的值域为[1,3]
7.如果二次函数在区间上是增函数，求（2）的范围。
解：二次函数（x）在区间上是增函数。
因为图象开口向上，故其对称轴与重合或者位于的左侧。
所以有，所以。
所以，即。8.若是定义在上的增函数，且对于满足。
1）求的值；（2）若，试求解不等式。
解：（1）令，则。
2）因为，所以。
由于是定义在上的增函数，且，所以，解得：。
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