高频考点2 函数

高频考点2 函数。

命题动向】函数既是高中数学最重要的基础知识又是高中数学的主干知识，还是高中数学的主要工具，在高考中占有举足轻重的地位，其考查的内容是丰富多彩的，考查的方式是灵活多变的，既有以选择题、填空题形式出现的中低档试题，也有以解答题形式出现的中高档试题，更有以综合了函数、导数、不等式、数列而出现的压轴题．在试卷中往往是以选择题、填空题的形式考查函数的基础知识和基本方法，以解答题的形式考查函数的综合应用．

考点猜题】押猜题1

已知是定义在r上的偶函数，且对于任意的r都有若当时，则有（）

ab． cd．

解析的最小正周期为4.因为是定义在r上的偶函数，则则因为当时，为增函数，故故选a.

点评本题集函数的周期性、奇偶性、单调性等于一体考查，是高考命题者惯用的手法，充分体现了高考选择题的“小、巧、精、活”的特点，是一道难得的好题。

押猜题2理）已知函数。

1）求函数的单调区间；

2）若当时（其中），不等式恒成立，求实数的取值范围；

3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。

解析因为所以。

1）令或，所以的单调增区间为和；

令或。所以的单调减区间为和。

2）令或函数在上是连续的，又所以，当时，的最大值为。

故时，若使恒成立，则。

3）原问题可转化为：方程在区间上恰好有两个相异的实根。

令则令解得：

当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增。

在和处连续，又。

且当时，的最大值是的最小值是。

在区间上方程恰好有两个相异的实根时，实数的取值范围是：

点评本题考查导数在研究函数性质，不等式恒成立，参数取值范围等方面的应用，充分体现了导数的工具和传接作用。作为一道代数推理题，往往处在“把关题”或“压轴题”的位置，具有较好的区分和选拔功能。

文）已知函数与函数互为反函数，且函数与函数也互为反函数，若，则=（

a．0b．1cd．

解析求得函数的反函数为又函数与函数也互为反函数，所以故选c.

点评本题是以“年份”为背景的代数推理题，挖掘出是解题的关键，是推理的基础，结合累加法和反函数的有关知识可使问题圆满解决。此题对文科考生而言有相当的难度。

抢分绝技】1. 对于函数，的最值问题，最好用图像法，尤其是当“轴变区间定”和“轴定区间变”时，这两种情况利用图像作参考找出讨论时分类的标准。“轴定区间定”这种情况解决起来也可以不利用图像，若，则时有最小值，最大值是与中较大者；若，则与中较小者为最小值，较大者为最大值，即最值在区间的端点处取得。

2. 对于在区间上恒成立问题，等价转换成在上的最小值问题，若中含有参数，则要求对参数进行讨论，问题解决起来往往比较麻烦，可以化繁为简。

3. 指数函数的单调性与底数有关，当底数与的1大小关系不能确定时应注意分类讨论。

4. 比较两个指数幂大小时，尽量化为同底或同指数。

解简单的指数不等式时，当底数含参数且底数与1的大小不确定时，注意分类讨论。

5. 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系。

在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；

在轴右侧，图象从下到上相应的底数由大变小；

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

6. 把原函数做变量代换划归为二次函数，然后用配方法求指定区间上的最值是求对数函数的常见题型。在给定条件下，求字母的取值范围也是常见题型，尤其与对数函数结合在一起的高考试题更是屡见不鲜。

7. 解对数方程的基本思路是化为代数方程，常见的可解类型有：

1）形如（且）的方程，化成求解；

2）形如的方程，用换元法求解；

3）形如的方程，化成指数式求解。

8.在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数范围扩大或缩小就容易产生增根或减根，因此解对数方程要注意验根。

9. 幂函数因幂指数不同而性质各异，图象更是多样，熟悉其图象的分布，着重掌握图象在第一象限的部分，抓住特殊点，并注意把和进行比较，掌握它们的变化规律。关于幂函数中的限定在集合中取值。

10. 在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近轴（简记为指大图底），在上，幂函数中指数越大，函数图象越远离轴。

11. 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第。

二、三象限内，要看函数的奇偶性。幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。

12. .幂函数的定义域的求法可分为五种情况，即：（1）为零；（2）为正整数；（3）为负整数；（4）为正分数；（5）为负分数。

13.（1）若对任意满足，则的图像关于直线对称。仿之结论：，等。

2）若对任意满足，则的图像关于直线对称。

14. .通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学模型方法，简称建模。

解决函数应用题的基本步骤：

第一步：认真读题，缜密审题，要确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化。

第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；

第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答。

解决函数应用题的关键有两点：一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、画图、引入变量、建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言；二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解。

真题再现】一映射与函数。

一）选择题（共6题）

1.（安徽卷理6文6）设，二次函数的图象可能是。

a、 b、c、 d、

答案】d解析】当时，、同号，（c）（d）两图中，故，选项（d）符合。

方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑。另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等。

2.（广东卷文2）函数，的定义域是。

a．(2，) b．(1,) c．[1，) d．[2，)

解：，得，选b.

3.（湖北卷文3）已知函数，则。

a.4bc.-4d-

答案】b解析】根据分段函数可得，则，所以b正确。

4.（湖北卷文5）函数的定义域为。

a.( 1) bc（1d. (1)∪（1，+∞

答案】a5.（陕西卷理5）已知函数f(x)= 若f（f（0））=4a，则实数a等于【】

abc.2d.9

答案】c解析】∵，于是，由得。故选。

6.（天津卷文10）设函数，则的值域是。

a）（b）（c）（d）

答案】d解析】由题意=，所以当时，的值域为；当时，的值域为，故选d。

命题意图】本题考查分段函数值域的求法，考查分类讨论的数学思想。

二）填空题（共2题）

1.（广东卷理9）函数=lg(-2)的定义域是。

答案】(2,+∞解析】(2

2.（陕西卷文13）已知函数f（x）＝若f（f（0））＝4a，则实数a

答案】2解析】f(0)=2,f(2)=4+2a=4a,解得a=2。

二函数的性质与反函数。

一）选择题（共13题）

1.（安徽卷理4）若是上周期为5的奇函数，且满足，则。

a、－1 b、1 c、－2 d、2

答案】a2.（北京卷文6）给定函数①，②期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是。

abcd）①④

3.（广东卷理3文3）若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为r，则。

a．f（x）与g（x）均为偶函数b. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数。

c．f（x）与g（x）均为奇函数d. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数。

答案】d．解析】．故f（x）为奇函数，g（x）为偶函数。

4.（江西卷理9）给出下列三个命题：

函数与是同一函数；

若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；

若奇函数对定义域内任意都有，则为周期函数．

其中真命题是。

abcd．②

答案】c解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除a、b，验证③, 又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择c。

5.（江西卷文8）若函数的图像关于直线对称，则为。

abcd．任意实数。

答案】b解析】考查反函数，因为图像本身关于直线对称故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案。

或利用反函数的性质，依题知（1，a/2）与（a/2，1）皆在原函数图故可得a=-1

6. （全国ⅰ新卷理5）已知命题。

函数在r为增函数，：函数在r为减函数，则在命题：，：和：中，真命题是。

a）， b）， c）， d），答案】c

解析：易知是真命题，而对：，当时，，又，所以，函数单调递增；同理得当时，函数单调递减，故是假命题．由此可知，真，假，假，真．

另解：对的真假可以取特殊值来判断，如取，得；取，得即可得到是假命题，下略．

7.（全国ⅱ卷理2）函数的反函数是。

ab）cd）

答案】d命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。

解析】由原函数解得，即，又；

在反函数中，故选d.

8.（全国ⅱ卷文4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是。

a）y=-1(x>0b)y=+1(x>0)

c) y=-1(x rd）y=+1 (x r)

解析】d：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数y=1+ln（x-1）(x>1)，∴

9.（山东卷理4文5）设为定义在r上的奇函数。当x≥0时，=+2x+b（b为常数），则=

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