1.（2010天津）已知函数。
ⅰ）求函数的单调区间和极值；
ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
ⅲ）如果，且，证明。
2.（2011辽宁）已知函数．
（i）讨论的单调性；
（ii）设，证明：当时，；
（iii）若函数的图像与x轴交于a，b两点，线段ab中点的横坐标为x0，证明：（x0）＜0．
3.（模拟）已知函数。
1） 求函数的单调区间和极值；
2） 若函数对任意满足，求证：当时，；
3） 若，且，求证：
4.（2009辽宁）已知函数。
ⅰ）讨论函数的单调性；
ⅱ）证明：若，则对任意x，x，xx，有。
5.（2010辽宁）已知函数。
）讨论函数的单调性；
）设。如果对任意，，求的取值范围。
6.（模拟）已知函数。
1） 当时，求证函数有且仅有一个极值点；
2） 若对任意的且，恒有不等式成立，求实数的取值范围。
7.已知函数（为常数），函数。
1）当时，若函数图象上任意不同的两点的坐标分别为，线段的中点，记直线的斜率为，试证明：；
2）若，且对任意的，都有，求的取值范围。
8.已知函数。
1）讨论函数的单调性；
2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
3）证明：
9.已知函数。
1）若函数在上为单调增函数，求的取值范围；
2）设，且，求证：
10.已知函数的图像在点处的切线斜率为3
1）求实数的值；
2）若，且对任意恒成立，求的最大值；
3）当时，证明：
11.设函数，其中。
1）当时，判断函数在定义域上的单调性；
2）试讨论函数的极值情况，若极值存在，求出极值点；
3）证明对任意的正整数，不等式都成立。
12.已知。
1）求的单调区间；
2）证明：当时，恒成立；
3）任取两个不相等的正数且，若存在使成立，证明：
13.(2012哈三中)已知函数在x=1处取得极值为2，设函数图象上任意一点处的切线斜率为k。
（1）求实数k的取值范围；
2）若对于任意，存在k，使得，求证。
答案见五三）
14.（2012辽宁丹东）已知函数。
i） 若，且存在单调递减区间，求的取值范围；
ii）若函数的图像与轴交于a，b两点，线段ab中点的横坐标为，证明：．
解：（i）当时，则2分）
因为函数存在单调递减区间，所以<0有解。
又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解。
当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，若ax2+2x－1>0总有x>0的解；
则需△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根。此时，－1 综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（05分）
（ii） 设点a,b的坐标分别是（x1, 0），（x2, 0），0 则点ab的中点横坐标为。
则7分）9分） 设则。
令则。因为时，，所以在）上单调递减。 故。
而。 故12分）
15.（2012葫芦岛）已知函数在点的切线方程为。
ⅰ）求函数的解析式；
ⅱ）设，求证：在上恒成立；
ⅲ）已知，求证：.
解：（ⅰ将代入切线方程得 ，化简得2分。
解得：.4分。
ⅱ）由已知得在上恒成立。
化简。即在上恒成立。
设，6分。 ∴，即。
在上单调递增，在上恒成立8分。
ⅲ）∵由（ⅱ）知有10分。
整理得。当时12分。
16. (2012东三省四市理)已知函数的图像在点处的切线方程为。
求实数、的值；
曲线上存在两点、，使得△是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围；
当时，讨论关于的方程的实根个数。
试题解析】解：⑴当时，.
因为函数图象在点处的切线方程为。
所以切点坐标为，并且。
解得。 (3分)
由⑴得，根据条件，的横坐标互为相反数，不妨设，，.
若，则，由是直角得，，即，即。此时无解；
若，则。 由于的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即。 同理有，即， ，由于函数的值域是，实数的取值范围是即为所求7分)
方程，即，可知0一定是方程的根，所以仅就时进行研究：方程等价于。
构造函数。对于部分，函数的图像是开口向下的抛物线的一部分， 当时取得最大值，其值域是；
对于部分，函数，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值1，其值域是，，并且当无限增大时，其图像在轴上方向右无限接近轴但永远也达不到轴10分)
因此可画出函数的图像的示意图如下：
可得：当时，方程只有唯一实根0；
当时，方程有两个实根0和；
当时，方程有三个实根；
当时，方程有四个实根；
当时，方程有五个实根；
当时，方程有两个实根0和1；
当时，方程有两个实根。 (12分)
17.(2012课程标准卷文21)设函数。
1） 求的单调区间；
2） 若，为整数，且当时，，求的最大值。
18.已知函数
1）当时，求的单调递减区间；
2）若当时，恒成立，求的取值范围；
3）求证：
19.已知函数，其中为实数。
1）求函数的单调区间；
2）若函数对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；
3）证明：对于任意的正整数，，不等式恒成立。
解：（1）当时，减：，增：
当时，减：，增：
当时，增：
当时，增：减：
3）当时，，当时，，则。
20.（2012山东文22）已知函数（为常数），曲线在点处的切线与轴平行。
1）求的值；
2）求的单调区间；
3）设，证明：对任意，21.（2012东北三省三校一模21）已知函数。
1）设a=1，讨论的单调性；
2）若对任意，，求实数a的取值范围。
答案见五三)
22.(2012浙江文21)已知，函数。
1）求的单调区间；
2）证明：当时，
23.（2012辽宁21）设，曲线与直线在点相切。
1） 求，的值；
2） 证明：当时，
答案见五三)
24．(本小题满分12分)
已知函数．ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数；
ⅱ)若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；
ⅲ)当时，证明：
24．解：（ⅰ当时，在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；
当时，得，得，在上递减，在上递增，即在处有极小值．
当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点． 3分。
ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，5分。
令，可得在上递减，在上递增，，即． 7分。
ⅲ）证明：， 8分。
令，则只要证明在上单调递增，又∵，显然函数在上单调递增． 10分，即，在上单调递增，即，当时，有． 12分。
25. 已知函数，，函数与函数的图像在交点（0,0）处有公共切线。
1）求a、b；
2）证明：
3）对任意的，当时，证明：
答案见五三）
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