①(本小题满分13分）
如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长。
ⅰ）求，的方程；
ⅱ）设与轴的交点为m，过坐标原点o的直线与相交于点a,b,直线ma,mb分别与相交与d,e.
i）证明：；
ii)记△mab,△mde的面积分别是。问：是否存在直线，使得=?
请说明理由。
解析：（i）由题意知，从而，又，解得。
故，的方程分别为。
ii）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为。
由得，设，则是上述方程的两个实根，于是。
又点的坐标为，所以。
故，即。ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为。
又直线的斜率为，同理可得点b的坐标为。
于是。由得，解得或，则点的坐标为；
又直线的斜率为，同理可得点的坐标。
于是。因此。
由题意知，解得或。
又由点的坐标可知，，所以。
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。
已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与、两点，点满足。
i)证明：点在上；
ii)设点关于点的对称点为，证明：、、四点在同一圆上。
解析】(i),的方程为，代入并化简得。
2分。设，则。
由题意得。所以点的坐标为。
经验证点的坐标满足方程，故点在椭圆上 …6分。
ii)由和题设知， ，的垂直平分线的方程为。
设的中点为，则，的垂直平分线的方程为。
由、得、的交点为9分。
故 ,又 , 所以 ,由此知、、、四点在以为圆心，为半径的圆上。 …12分。
已知函数，曲线在点处的切线方程为。
ⅰ）求、的值；
ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
解析：（ⅰ由于直线的斜率为，且过点，故即。
解得，。ⅱ）由（ⅰ）知，所以。
考虑函数，则。
i)设，由知，当时，，h(x)递减。而故当时， ，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（0，即f（x）>+
ii）设00,故 (x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。
综合得，k的取值范围为（-，0]
(本小题满分15分)如图，椭圆c： (a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点p(2，1)的距离为．不过原点o的直线l与c相交于a，b两点，且线段ab被直线op平分．
ⅰ)求椭圆c的方程；
ⅱ) 求abp的面积取最大时直线l的方程．
解析】ⅰ)由题：； 1)
左焦点(﹣c，0)到点p(2，1)的距离为： ．2)
由(1) (2)可解得：．
所求椭圆c的方程为：．
ⅱ)易得直线op的方程：y＝x，设a(xa，ya)，b(xb，yb)，r(x0，y0)．其中y0＝x0．
a，b在椭圆上，．
设直线ab的方程为l：y＝﹣(m≠0)，代入椭圆：．
显然．﹣＜m＜且m≠0．
由上又有：＝m，＝．
|ab|＝|
点p(2，1)到直线l的距离为：．
sabp＝d|ab|＝|m＋2|，当|m＋2|＝，即m＝﹣3 or m＝0(舍去)时，(sabp)max＝．
此时直线l的方程y＝﹣．
已知抛物线与圆有一个公共点，且在点处两曲线的切线为同一直线。
ⅰ）求；ⅱ）设、是异于且与及都相切的两条直线，、的交点为，求到的距离。
解：（1）设，对求导得，故直线的斜率，当时，不合题意，所心。
圆心为，的斜率。
由知，即，解得，故。
所以。2）设为上一点，则在该点处的切线方程为。
即若该直线与圆相切，则圆心到该切线的距离为，即，化简可得。
求解可得。抛物线在点处的切线分别为，其方程分别为① ②
－③得，将代入②得，故。
所以到直线的距离为。
设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；
1）若，的面积为；求的值及圆的方程；
2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值。
1）由对称性知：是等腰直角，斜边。
点到准线的距离。
圆的方程为。
（2）由对称性设，则。
点关于点对称得：
得：，直线。
切点。直线。
坐标原点到距离的比值为。（lfx lby）
已知函数满足满足；
1）求的解析式及单调区间；
2）若，求的最大值。
解析】（1）
令得： 得：
在上单调递增。
得：的解析式为。
且单调递增区间为，单调递减区间为。
（2）得。当时，在上单调递增。
时，与矛盾。
当时， 得：当时，
令；则。当时，
当时，的最大值为。
在平面直角坐标系xoy中，已知点a(0,-1)，b点在直线y = 3上，m点满足， ，m点的轨迹为曲线c。
ⅰ）求c的方程；
ⅱ）p为c上的动点，l为c在p点处得切线，求o点到l距离的最小值。
解析； (设m(x,y),由已知得b(x,-3),a(0,-1).
所以=（-x,-1-y）, 0,-3-y), x,-2).
再由题意可知（+）0, 即（-x,-4-2y）(x,-2)=0.
所以曲线c的方程式为y=x-2.
ⅱ)设p(x,y)为曲线c：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x
因此直线的方程为，即。
则o点到的距离。又，所以。
当=0时取等号，所以o点到距离的最小值为2.
21．(本小题满分14分)已知a＞0，br，函数．
ⅰ)证明：当0≤x≤1时，ⅰ)函数的最大值为|2a－b|﹢a；
ⅱ)＋2a－b|﹢a≥0；
ⅱ) 若﹣1≤≤1对x [0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．
解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。
当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；
当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，此时的最大值为：
|2a－b|﹢a；
综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a；
ⅱ) 要证＋|2a－b|﹢a≥0，即证＝﹣≤2a－b|﹢a．
亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，，∴令．
当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立，此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；
当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，|2a－b|﹢a；
综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．
即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．
ⅱ)由(ⅰ)知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a，且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．
﹣1≤≤1对x [0，1]恒成立，|2a－b|﹢a≤1．
取b为纵轴，a为横轴．
则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b．
作图如下：由图易得：当目标函数为z＝a＋b过p(1，2)时，有．
所求a＋b的取值范围为：．
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