2012高考真题分类汇编：圆锥曲线。
三、解答题部分。
20.【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆c： (a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点p(2，1)的距离为．不过原点o的直线l与c相交于a，b两点，且线段ab被直线op平分．
ⅰ)求椭圆c的方程；
ⅱ) 求abp的面积取最大时直线l的方程．
命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。
答案】(ⅰ由题：； 1)
左焦点(﹣c，0)到点p(2，1)的距离为： ．2)
由(1) (2)可解得：．
所求椭圆c的方程为：．
ⅱ)易得直线op的方程：y＝x，设a(xa，ya)，b(xb，yb)，r(x0，y0)．其中y0＝x0．
a，b在椭圆上，．
设直线ab的方程为l：y＝﹣(m≠0)，代入椭圆：．
显然．﹣＜m＜且m≠0．
由上又有：＝m，＝．
|ab|＝|
点p(2，1)到直线l的距离表示为：．
sabp＝d|ab|＝|m＋2|，当|m＋2|＝，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)时，(sabp)max＝．
此时直线l的方程y＝﹣．
21.【2012高考真题辽宁理20】(本小题满分12分)
如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于a，b，c，d四点。
(ⅰ)求直线与直线交点m的轨迹方程；
(ⅱ)设动圆与相交于四点，其中，若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。
答案】23.【2012高考真题北京理19】（本小题共14分）
答案】解：（1）原曲线方程可化简得：
由题意可得：，解得：
2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，解得：
由韦达定理得：①，
设，方程为：，则，欲证三点共线，只需证，共线。
即成立，化简得：
将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。
25.【2012高考真题重庆理20】（本小题满分12分（ⅰ）小问5分（ⅱ）小问7分）
如图，设椭圆的中心为原点o，长轴在x轴上，上顶点为a，左右焦点分别为，线段的中点分别为，且△是面积为4的直角三角形。
ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
ⅱ）过做直线交椭圆于p，q两点，使，求直线的方程。
答案】命题立意】本题考查椭圆的标准方程，平面向量数量积的基本运算，直线的一般式方程以及直线与圆锥曲线的综合问题。
27.【2012高考真题新课标理20】（本小题满分12分）
设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；
1） 若，的面积为；求的值及圆的方程；
2） 【答案】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边。
点到准线的距离。
圆的方程为。
28.【2012高考真题福建理19】如图，椭圆e：的左焦点为f1，右焦点为f2，离心率。过f1的直线交椭圆于a、b两点，且△abf2的周长为8.
ⅰ）求椭圆e的方程。
ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆e有且只有一个公共点p，且与直线x=4相较于点q.试**：
在坐标平面内是否存在定点m，使得以pq为直径的圆恒过点m？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由。
29.【2012高考真题上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线：．
1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；
2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；
3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值。
答案】过点a与渐近线平行的直线方程为。
30.【2012高考真题陕西理19】本小题满分12分）
已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率。
1）求椭圆的方程；
2）设o为坐标原点，点a，b分别在椭圆和上，，求直线的方程。
【答案】31.【2012高考真题山东理21】（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为。
ⅰ）求抛物线的方程；
ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
ⅲ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值。
32.【2012高考真题江西理21】已知三点o（0,0），a（-2,1），b（2,1），曲线c上任意一点m（x，y）满足。1求曲线c的方程；2动点q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线c上，曲线c在点q处的切线为l向：
是否存在定点p（0，t）（t＜0），使得l与pa，pb都不相交，交点分别为d,e，且△qab与△pde的面积之比是常数？若存在，求t的值。若不存在，说明理由。
答案】33.【2012高考真题全国卷理21】（本小题满分12分）（
已知抛物线c：y=(x+1)2与圆m：（x-1）2+()2=r2(r＞0)有一个公共点，且在a处两曲线的切线为同一直线l.
ⅰ）求r；ⅱ）设m、n是异于l且与c及m都相切的两条直线，m、n的交点为d，求d到l的距离。
答案】35.【2012高考真题湖南理21】（本小题满分13分）[
在直角坐标系xoy中，曲线c1的点均在c2：（x-5）2＋y2=9外，且对c1上任意一点m，m到直线x=﹣2的距离等于该点与圆c2上点的距离的最小值。
ⅰ）求曲线c1的方程；
ⅱ）设p(x0,y0)（y0≠±3）为圆c2外一点，过p作圆c2的两条切线，分别与曲线c1相交于点a，b和c，d.证明：当p在直线x=﹣4上运动时，四点a，b，c，d的纵坐标之积为定值。
答案】（ⅰ解法1 ：设m的坐标为，由已知得。
易知圆上的点位于直线的右侧。于是，所以。
化简得曲线的方程为。
解法2 ：由题设知，曲线上任意一点m到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为。
ⅱ）当点p在直线上运动时，p的坐标为，又，则过p且与圆。
相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为。于是。
整理得 ①设过p所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故 ②
由得 ③设四点a,b,c,d的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以 ④
同理可得 ⑤
于是由②，④三式得。
所以，当p在直线上运动时，四点a，b，c，d的纵坐标之积为定值6400.
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