一．双曲线的定义（第一定义）
平面内与两定点f1、f2距离之差的绝对值等于定长2
注意：⑴当2＜||时动点p的轨迹表双曲线。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
当2=||时动点p的轨迹表以f、f为端点的两条射线。
当2＞||时点p不存在。
二．双曲线的标准方程及几何性质
三、双曲线常规题型。
1．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
经过两点（2,3）、（7，-6）
双曲线经过点（3,9），离心率为。
双曲线c的右焦点为（2，0），右顶点为。
与双曲线x2－2y2＝2有共同的渐近线，且经过点（2，－2）
过点p（2，－1），渐近线方程是y＝±3x.
2．双曲线的焦距为（ ）
a．3b．4c．3d．4
3．动点与点与点满足，则点的轨迹方程为 （
a． b． c． d．
4．到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是（ ）
a．椭圆b．线段c．双曲线d．两条射线。
5．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
ab．－4c．4d.
6．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为。
7．双曲线的渐近线方程是（ ）
a． b． c． d．
8．已知双曲线的方程为，点a、b在双曲线的右支上，线段ab经过双曲线的右焦点，，为另一焦点，则的周长为（ ）
a． b． c． d．
9．已知双曲线上一点p到双曲线的一个焦点的距离等于6，那么p点到另一焦点的距离等于（ ）
a．10 b．10或2 c． d．
10．方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
ab．＞ cd．＞或＜
11．双曲线的焦距是（ ）
a．4bc．8d．与有关。
12．过双曲线左焦点的弦ab长为6，则（f为右焦点）
的周长是（ ）
a．28b．22c．14d．12
13．已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（ ）
a．1b．2c．3d．4
14．已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（ ）
a．1b．2c．3d．4
15．与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为（ ）
a． b． c． d．
16．方程表示双曲线，则（ ）
a．（5，10） b．（）c．（10，） d．
17．双曲线上点p到左焦点的距离为6，则这样的点p的个数为（ ）
a． 1b．2c．3d．4
18．双曲线有相同的（ ）
a．焦点b．准线c．离心率d．渐近线。
19．“ab<0”是“方程ax2+by 2 =c表示双曲线”的（ ）
a．必要不充分条件 b．充分不必要条件。
c．充要条件 d．非充分非必要条件。
20．一动圆与两圆：x2+y 2=1和x2+y 2-8x+12=0都外切，则动圆心的轨迹为（ ）
a．抛物线 b．圆 c．双曲线的一支d．椭圆。
21．方程所表示的曲线为c，有下列命题：
若曲线c为椭圆，则；
若曲线c为双曲线，则或；
曲线c不可能为圆；
若曲线c表示焦点在上的双曲线，则。
以上命题正确的是填上所有正确命题的序号）
四、离心率的求法。
1．双曲线虚半轴长为，焦距为6，则双曲线离心率是（ ）
a． b． c． d．
2．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的。
离心率是（ ）
a．2b． 3cd．
3．如果双曲线的渐近线方程为，则离心率为（ ）
或。4．双曲线虚轴的一个端点为m，两个焦点为f1、f2，∠f1mf2=120°，则双曲线的。
离心率为 （
a． b． c． d．
5．双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
abcd．
6．双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为。
7．设双曲线的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为。
8．已知双曲线的离心率e，则m的取值范围是（ ）
a．（－12，0） bc．（－3，0d．（－60，－12）
五、面积问题。
1．已知双曲线的两个焦点为分别为f1、f2，点p在双曲线上且。
满足，则的面积是。
2．双曲线上有一点是双曲线的焦点，且，则面积为。
3．双曲线的离心率为为焦点，在双曲线上，且的面积为，又，则双曲线的方程是。
4．若椭圆和双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，则的值为。
5. 已知双曲线的方程是。
求双曲线的焦点坐标、离心率、准线方程。
设是双曲线的左右焦点，点p在双曲线上，且，求的大小。
六、直线与双曲线。
一）弦长公式：|ab|＝
二）直线与双曲线的位置关系。
⑴相交 → 有两个公共点，△＞0
有一个公共点（或直线与渐进线平行）
相切 → 有一个公共点，△ 0
相离 → 没有公共点，△ 0
1．如果直线与双曲线满足以下条件，请分别求出的取值范围。
有两个公共点
没有公共点。
与右支有两个公共点
与左、右两支各有一个公共点。
2．过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
3．若直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围为。
4．过点p（8，1）的直线与双曲线相交于a、b两点，且p是线段ab的中点，则直线ab的方程为。
5．已知斜率为1的直线l经过双曲线的右焦点n交双曲线于a、b两点，且左焦点为m
求弦长|ab|。
⑵求mab的面积。
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