圆锥曲线专题

圆锥曲线专题（复习导纲）

1．已知双曲线c：－y2＝1，p为双曲线c上的任意点，设点a的坐标为(3,0)，则|pa|的最小值等于( )

abcd.

2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )

a．2b．3cd.

3、设圆锥曲线c的两个焦点分别为f1，f2，若曲线c上存在点c满足|pf1|∶|f1f2|∶|pf2|＝4∶3∶2，则曲线c的离心率等于( )

a.或b.或2 c.或2d.或。

4．若直线l被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为，则直线l与下列曲线一定有公共点的是( )

a．y2＝xb.－y2＝1 c．(x－2)2＋y2＝4d.＋y2＝1

5．设m，n∈r，若直线(m＋1)x＋(n＋1)·y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是( )

a．[1－，1＋] b．(－1－]∪1＋，＋

c．[2－2，2＋2 ] d．(－2－2 ]∪2＋2，＋∞

6．如图所示，f1，f2分别是双曲线c：－＝1(a，b＞0)的左、右焦点，b是虚轴的端点，直线f1b与c的两条渐近线分别交于p，q两点，线段pq的垂直平分线与x轴交于点m.若|mf2|＝|f1f2|，则c的离心率是( )

ab. cd.

7．设f1、f2为椭圆＋＝1的两个焦点，p为椭圆上一点，已知p、f1、f2是一个直角三角形的三个顶点，且|pf1|>|pf2|.则的值为。

8．设f1、f2分别是双曲线c：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点p，使|op|＝|of1|(o为坐标原点)，且|pf1|＝|pf2|，则双曲线的离心率为___

9、若中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为。

10、已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线上的一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为。

11、已知点，直线与圆交于两点，和的面积分别为，若，且，则实数的值为

12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)过定点，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于以其两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积的2倍．

1)求此椭圆的方程；

2)若直线x＋y＋1＝0与椭圆交于a，b两点，x轴上一点p(m,0)，使得∠apb为锐角，求实数m的取值范围．

13．如图，抛物线c1：x2＝2py(p>0)的焦点为f，椭圆c2：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，c1与c2在第一象限的交点为p.

1)求抛物线c1及椭圆c2的方程；

2)已知直线l：y＝kx＋t(k≠0，t>0)与椭圆c2交于不同两点a、b，点m满足＋＝0，直线fm的斜率为k1，试证明k·k1>－.

圆锥曲线专题（复习导纲）答案。

1、解析：选d 设p点的坐标为(x，y)，则|pa|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1＝2＋.

|x|≥2，∴当x＝时，|pa|2有最小值，即|pa|的最小值为。

2、解析：选a 记抛物线y2＝4x的焦点为f，则f(1,0)，注意到直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，于是抛物线y2＝4x上的动点p到直线l2的距离等于|pf|，问题即转化为求抛物线y2＝4x上的动点p到直线l1：

4x－3y＋6＝0的距离与它到焦点f(1,0)的距离之和的最小值，结合图形，可知，该最小值等于焦点f(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即等于＝2.

3、不妨设|pf1|＝4t，|f1f2|＝3t， |pf2|＝2t，其中t≠0，若该曲线为椭圆，则有|pf1|＋|pf2|＝6t＝2a，|f1f2|＝3t＝2c， e＝＝＝

若该曲线为双曲线，则有|pf1|－|pf2|＝2t＝2a，|f1f2|＝3t＝2c， e＝＝＝

4、解析：选d 依题意得，圆心(0,0)到直线l的距离等于＝1，即直线l是圆x2＋y2＝1的切线．而圆x2＋y2＝1的切线x＝－1与曲线y2＝x，曲线－y2＝1，曲线(x－2)2＋y2＝4均没有公共点；对于d，由于圆x2＋y2＝1上的所有点均在椭圆＋y2＝1内，因此圆x2＋y2＝1的切线与曲线＋y2＝1一定有公共点．

5、解析：选d 由题意可得＝1，化简得mn＝m＋n＋1≤，解得m＋n≤2－2或m＋n≥2＋2.

6、解析：选b 不妨设c＝1，则直线pq：y＝bx＋b，两渐近线为y＝±x，因此有交点p，q，设pq的中点为n，则点n的坐标为，因为线段pq的垂直平分线与x轴交于点m，|mf2|＝|f1f2|，所以点m的坐标为(3,0)，因此有kmn＝＝－所以3－4a2＝b2＝1－a2，所以a2＝，所以e＝.

7、解：若∠pf2f1＝90°，则|pf1|2＝|pf2|2＋|f1f2|2，|pf1|＋|pf2|＝6，|f1f2|＝2，解得|pf1|＝，pf2|＝，

若∠f1pf2＝90°，则|f1f2|2＝|pf1|2＋|pf2|2＝|pf1|2＋(6－|pf1|)2.

|pf1|>|pf2| ∴pf1|＝4，|pf2|＝2.∴＝2.

综上知，＝或2.

8、解析：因为|op|＝|of1|＝|f1f2|，所以pf1⊥pf2，由|pf1|2＋|pf2|2＝(2c)2，即3|pf2|2＋|pf2|2＝(2c)2，解得|pf2|＝c，|pf1|＝c，由定义得|pf1|－|pf2|＝c－c＝2a，所以e＝＋1.

12、解：(1)以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积s1＝·2a·2b＝2ab，以两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形的面积s2＝·2c·2b＝2cb.

＝＝2，即a＝2c.可设椭圆方程为＋＝1，将点代入可得c2＝1.故所求椭圆方程为＋＝1.

2)由∠apb为锐角，得·>0，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则＝(x1－m，y1)，＝x2－m，y2)，＝x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2>0，联立椭圆方程＋＝1与直线方程x＋y＋1＝0，消去y并整理得7x2＋8x－8＝0.

所以x1x2＝－，x1＋x2＝－，进而求得y1y2＝－，所以x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2＝－－m·＋m2－>0，即7m2＋8m－17>0，解得m的取值范围为。

13、解：(1)将p代入x2＝2py，得p＝3，抛物线c1的方程为x2＝6y，焦点f.

把p代入＋＝1，得＋＝1，又∵e＝＝，1－＝，a2＝4b2，解得a＝2，b＝1(负值舍去)．

故椭圆c2的方程为＋y2＝1.

2)证明：由得。

1＋4k2)x2＋8ktx＋4(t2－1)＝0.

令δ＝64k2t2－16(1＋4k2)(t2－1)>0得1＋4k2>t2.

设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1＋x2＝－.

＋＝0，∴＝即点m为线段ab的中点，设m(xm，ym)，xm＝－，ym＝k·xm＋t＝－＋t＝.

k1＝＝＝k·k1＝k·＝，t2<1＋4k2，k·k1>＝，又∵t>0，∴ 即k·k1>－.

1)确定直线的几何要素，一个是它的方向，一个是直线过一个点．在解析几何里面用得最广泛的就是直线方程的点斜式．

2)求圆的方程要确定圆心的坐标(横坐标、纵坐标)和圆的半径，这实际上是三个独立的条件，只有根据已知把三个独立条件找出才可能通过解方程组的方法确定圆心坐标和圆的半径，其中列条件和解方程组都要注意其准确性．

3)直线被圆所截得的弦长是直线与圆相交时产生的问题．解决的方法，一是根据平面几何知识结合坐标的方法，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即如果圆的半径是r，圆心到直线的距离是d，则圆被直线所截得的弦长l＝2；二是根据求一般的直线被二次曲线所截得的弦长的方法解决．

4)直线与圆中常见的最值问题．

圆外一点与圆上任一点的距离的最值．

直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值．

过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．

直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题．

两圆相离，两圆上点的距离的最值。

15．已知圆c1的方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝4，若直线l过点a(4,0)，且被圆c1截得的弦长为2，则直线l的方程为。

解析：圆c1的圆心c1(－3,1)，半径r＝2.

由题知l的斜率存在，可设直线l的方程为。

y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.

c1(－3,1)到直线l的距离。

d＝＝，2＋2＝4，解得k＝0或k＝－.

直线l的方程为y＝0或y＝－(x－4)．

答案：y＝0或y＝－(x－4)

1．求圆锥曲线标准方程常用的方法。

1)定义法。

2)待定系数法。

顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义．

椭圆的标准方程可设为＋＝1(m>0，n>0)．

双曲线的标准方程可设为－＝1(mn>0)．

这样可以避免讨论和繁琐的计算．

2．求离心率的范围问题关键是确立一个关于a，b，c的不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到关于a，c的不等式，由这个不等式确定a，c的关系．

3．抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点f的弦ab，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|ab|＝x1＋x2＋p.同样可得抛物线y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py类似的性质．

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