圆锥曲线练习。
1、已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且△的周长为．（东城一模）
（ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线的距离为定值，并求出这个定值．
解：（i）由题意知，，所以．
因为。所以，所以．
所以椭圆的方程为．
ii）由题意，当直线的斜率不存在，此时可设，.
又，两点在椭圆上，所以，．
所以点到直线的距离．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由消去得。
由已知．设，．
所以，．因为，所以．所以．即．所以．
整理得，满足．
所以点到直线的距离。
为定值．2、 已知椭圆： 的两个焦点分别为，，离心率为，且过点。
ⅰ）求椭圆的标准方程；
ⅱ），是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线和分别过点，，且这两条直线互相垂直，求证：为定值。
ⅰ）解：由已知，所以。
所以。 所以：，即。
因为椭圆过点，得，.
所以椭圆的方程为。
ⅱ）证明：由（ⅰ）知椭圆的焦点坐标为，.
根据题意， 可设直线的方程为，由于直线与直线互相垂直，则直线的方程为。
设，.由方程组消得
则。 所以=.
同理可得。
所以。3、已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，点为其右顶点。过点作直线与椭圆相交于两点，直线，与直线分别交于点，.
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）求的取值范围。（朝阳一模）
解：（ⅰ设椭圆的方程为，依题意得解得，.
所以椭圆的方程为4分。
ⅱ）显然点。
1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，，所以6分。
2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，显然时，不符合题意。
由得。 设，则。
直线，的方程分别为：，令，则。
所以10分。
所以 12分。
因为，所以，所以，即。
综上所述，的取值范围是14分。
4、已知椭圆过点，离心率为。
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，直线，分别交直线于，两点，线段的中点为。记直线的斜率为，求证：为定值。
解：（ⅰ依题得解得，.
所以椭圆的方程为4分。
ⅱ）根据已知可设直线的方程为。
由得。设，则。
直线，的方程分别为：，令，则，所以。
所以。14分。
5、已知动点p到点a（-2,0）与点b（2,0）的斜率之积为，点p的轨迹为曲线c。
ⅰ)求曲线c的方程；
ⅱ)若点q为曲线c上的一点，直线aq，bq与直线x=4分别交于m、n两点，直线bm与椭圆的交点为d。求证，a、d、n三点共线。
解：（i）设p点坐标，则（），由已知，化简得：.
所求曲线c的方程为（）。
ii）由已知直线aq的斜率存在，且不等于0，设方程为，由，消去得：
因为，是方程（1）的两个根，所以，得，又，所以。
当，得，即。
又直线bq的斜率为，方程为，当时，得，即。
直线bm的斜率为，方程为。
由，消去得：
因为2，是方程（2）的两个根，所以。
得，又，即。
由上述计算：，，
因为，，所以。
所以a、d、n三点共线。
6、已知动点p到点a（-2,0）与点b（2,0）的斜率之积为，点p的轨迹为曲线c。
ⅰ)求曲线c的方程；
ⅱ)若点q为曲线c上的一点，直线aq，bq与直线x=4分别交于m、n两点，直线bm与椭圆的交点为d。求线段mn长度的最小值。
解：（ⅰ设，由题意知 ，即。
化简得曲线c方程为：
ⅱ）思路一。
满足题意的直线的斜率显然存在且不为零，设其方程为，由（ⅰ）知，所以，设直线方程为，由（ⅰ）知，所以，设直线方程为，当时得点坐标为，易求点坐标为。
所以=，当且仅当时，线段mn的长度有最小值。
思路二：满足题意的直线的斜率显然存在且不为零，设其方程为，联立方程：
消元得，设，由韦达定理得：，所以，代入直线方程得，所以，又。
所以直线bq的斜率为。
以下同思路一。
思路三：设，则直线aq的方程为。
直线bq的方程为。
当，得，即。
当，得，即。则。又。
所以。利用导数，或变形为二次函数求其最小值。
7、已知抛物线的焦点坐标为，过的直线交抛物线于两点，直线分别与直线：相交于两点。
ⅰ）求抛物线的方程；
ⅱ）证明△abo与△mno的面积之比为定值。
8、已知椭圆和点，垂直于轴的直线与椭圆交于两点，连结交椭圆于另一点。
ⅰ）求椭圆的焦点坐标和离心率；
ⅱ）证明直线与轴相交于定点。
ⅰ）由题意知： 所以。
所以，焦点坐标为； 离心率4分
ⅱ）由题意知：直线pb的斜率存在，设直线pb的方程为……5分。
，则，由得
则 (18分。
直线ae的方程为，令，得 (210分。
又， 代入(2)式，得(3)
把(1)代入(3)式，整理得。
所以直线ae与轴相交于定点14分。
9、已知以原点为对称中心、f(2,0)为右焦点的椭圆c过p(2，)，直线：y=kx+m(k≠0)交椭圆c于不同的两点a，b。
ⅰ）求椭圆c的方程；
ⅱ）是否存在实数k，使线段ab的垂直平分线经过点q（0,3）？若存在求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由。
解：（ⅰ设椭圆c的方程为，由题意。
解得，，所以椭圆c的方程为5分。
ⅱ）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点q（0,3），设a(x1,y1)、b(x2,y2)，ab的中点为n(x0,y0),由得6分。
所以，……7分。
8分。线段ab的垂直平分线过点q（0,3），即10分。
整理得，显然矛盾不存在满足题意的k的值13分。
10、已知椭圆c：（）的右焦点为f(2,0)，且过点p(2，).直线过点f且交椭圆c于a、b两点。
ⅰ）求椭圆c的方程；
ⅱ）若线段ab的垂直平分线与x轴的交点为m（），求直线的方程。
解：（ⅰ设椭圆c的方程为，则。
解得，，所以椭圆c的方程为，……5分。
ⅱ）当斜率不存在时，不符合题意6分。
当斜率存在时设直线l的方程为y=k(x-2)，a(x1,y1)、b(x2,y2)，ab的中点为n(x0,y0),由得7分。
因为， 所以8分。
所以9分。因为线段ab的垂直平分线过点m()，所以，即，所以，解得12分。
所以直线l的方程为或13分。
11、已知圆：（）若椭圆：（）的右顶点为圆的圆心，离心率为。
i）求椭圆的方程；
ii）若存在直线：，使得直线与椭圆分别交于，两点，与圆分别交于，两点，点**段上，且，求圆半径的取值范围。
12、已知圆：,若椭圆：（）的右顶点为圆的圆心，离心率为。
i）求椭圆的方程；
ii）已知直线：，若直线与椭圆分别交于，两点，与圆分别交于，两点（其中点**段上），且，求的值。
解：（i）设椭圆的焦距为，因为，，所以， 所以。
所以椭圆4分。
ii）设（，）
由直线与椭圆交于两点，，则。
所以 ，则，……6分。
所以7分。点（，0）到直线的距离。
则9分。显然，若点也**段上，则由对称性可知，直线就是轴，矛盾，所以要使，只要。
所以。………11分。
当时12分。
当时，又显然， 所以
综上14分。
13、在平面直角坐标系中， 动点到直线的距离是到点的距离的倍．
ⅰ）求动点的轨迹方程；
ⅱ）设直线与（ⅰ）中曲线交于点，与交于点，分别过点和作的垂线，垂足为，问：是否存在点使得的面积是面积的9倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
ⅰ）解：设点的坐标为．
由题意知3分。
化简得 所以动点的轨迹方程为5分。
ⅱ）设直线的方程为，点。
因为∽，所以有，由已知得，所以有（17分。
由，得， 2），（310分。
由（1）（2）（3）得或。
所以存在点为13分。
14、已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且离心率为．
i）求椭圆的标准方程；
ii）过点p（0，1）的直线与该椭圆交于a、b两点，o为坐标原点，若，求的面积．
解：（i）设椭圆方程为，由，可得，
既所求方程为5分。
ii）设，由有。
设直线方程为，代入椭圆方程整理，得。
8分。解得10分。
若 ， 则
解得 ……12分。
又的面积 答：的面积是14分。
15、设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且．
ⅰ）求椭圆的离心率；
ⅱ）若过三点的圆与直线相切，求椭圆的方程；
ⅲ）在（ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于点，求实数的取值范围．
16、 设椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，左焦点到直线的距离等于长半轴长．
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