圆锥曲线。
一．知识补充。
1.弦长公式：设直线与圆锥曲线的两个交点为，
则弦长=，，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”的系数。
2.通径：最短的焦点弦，长度为，通径过焦点且垂直于坐标轴。（椭圆及双曲线）
3.焦点三角形：椭圆或双曲线上一点与两个焦点，构成的称为焦点三角形。设，，
椭圆 ， 为短轴的端点。
.双曲线 4.等轴双曲线：离心率两渐近线互相垂直渐近线方程方程可设为。
5.抛物线：抛物线上的点与焦点的距离，
焦点弦：若为抛物线的焦点弦，，，弦中点为则有以下结论：
焦点弦长公式： 为直线的倾斜角。
通径。.的面积。
切线方程和切点弦方程：
抛物线的切线方程为，为切点。
切点弦方程为，点在抛物线外。
2．提高练习。
例1.已知双曲线，为轴上一动点，经过的直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为。
练习：椭圆的离心率为，则。
例2.已知，为双曲线的左右焦点，点在上，，则到轴的距离为。
a b c d
练习：已知是椭圆上一点，和是焦点且，则的面积为。
提高：设为坐标原点，，是双曲线的焦点，若在双曲线上存在点，满足，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
a. b. c. d.
例3.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，为坐标原点。若，则的面积为。
练习：过抛物线的焦点做倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的长度为8，则___
例4.已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线的焦点的距离之和取得最小值时，点的坐标为。
练习：已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的点，则的最小值为。
例5.已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点，则的方程为（ ）
a. b. c. d.
练习：已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点，直线与抛物线相交与两点，若的中点为，则直线的方程为。
例6.已知双曲线的离心率，直线过，两点，原点到直线的距离是，过点做直线交双曲线于，两点，若，则直线的方程为。
练习：设是过椭圆的一个焦点的弦，若的倾斜角为，则弦的长为。
例7.过双曲线右焦点做两条直线，当斜率为2时，直线与双曲线左，右两支各有一个交点；当斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
a. b. c. d.
练习：已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是。
例8.，分别是双曲线的左，右焦点，是虚轴的端点，直线与的两条渐近线分别交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点。若，则的离心率是（ ）
a. b. c. d.
练习：在平面直角坐标系中，为椭圆的左右下上四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为。
例9.已知双曲线方程为，为其左，右焦点，在双曲线右支上有一点满足，，为上一点，且为线段上一点，则___
练习：已知点是双曲线左支上一点，，分别是双曲线的左右焦点，，，双曲线的离心率为，则（ ）
a. b. c. d.
拓展：1.已知椭圆方程为，是椭圆上一动点，分别为左右焦点，由向的外角平分线做垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（ ）
a.椭圆 b.双曲线 c.抛物线 d.圆。
2.已知是椭圆上一点，椭圆的两个焦点为且，，点为的内心，延长线段交线段于点，则（ ）
a. b. c. d.
3.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则___
4.已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线交点的连线过点，则该双曲线的离心率为。
5.已知双曲线的离心率为2，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（ ）
a. b. c. d.
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