圆锥曲线教案对称问题教案。
教学目标。1．引导学生探索并掌握解决中心对称及轴对称问题的解析方法．
2．通过对称问题的研究求解，进一步理解数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．
3．通过对称问题的**，使学生会进一步运用运动变化的观点，用转化的思想来处理问题．
教学重点与难点。
两曲线关于定点和定直线的对称知识方法是重点．把数学问题转化为对称问题，即用对称观点解决实际问题是难点．
教学过程。师：前面学过了几种常见的曲线方程，并讨论了曲线的性质．今天这节课继续讨论有关对称的问题．大家想一想：
点p(x，y)、p′(x′，y′)关于点q(x0，y0)对称，那么它们的坐标应满足什么条件？
师：p(x，y)，p′(x′，y′)关于原点对称，那么它们的坐标满足什么条件？
生：p和p′的中点是原点．即x=-x′且y=-y′．
师：若p和p′关于x轴对称，它们的坐标又怎样呢？
生：x=x′且y=-y′．
师：若p和p′关于y轴对称，它们的坐标有什么关系？
生：y=y′且x=-x′．
师：若p和p′关于直线y=x对称，它们的坐标又会怎样？
生：y=x′且x=y′．
生：它们关于直线y=x对称．
师：若p与p′关于直线ax+by+c=0对称，它们在位置上有什么特征？
生：p和p′必须在直线ax+by+c=0的两侧．
师：还有补充吗？
生：pp′的连线一定与直线ax+by+c=0垂直．
师：p与p′在直线ax+by+c=0的两侧且与直线垂直就能对称了吗？
生：还需要保证p和p′到直线ax+by+c=0的距离相等．
师：p与p′到直线ax+by+c=0的距离相等的含义是什么？
生：就是p与p′的中点落在直线ax+by+c=0上，换句话说p与p′的中点坐标满足直线方程ax+by+c=0．
师：下面谁来总结一下，两点p(x，y)、p′(x′，y′)关于直线ax+by+c=0对称应满足的条件？
生：应满足两个条件．第一个条件是pp′的连线垂直于直线ax+by+c=0，第二个条件是p，p′的中点应落在直线ax+by+c=0上．
师：这两个条件能否用方程表示呢？
在黑板上可画出图形(如图2-72)，可直观些)
生：方程组：
师：这个方程组成立说明了什么？它能解决什么问题？
生：方程组中含有x′，y′，也可认为这是一个含x′，y′的二元一次方程组．换句话说，给定一个点p(x，y)和一条定直线ax+by+c=0，可以求出p点关于直线ax+by+c=0的对称点p′(x′，y′)的坐标．
师：今后有很多有关对称问题都可以用此方法处理，很有代表性．但也还有其他方法，大家一起看下面的例题．
例1 已知直线l1和l2关于直线2x-2y+1=0对称(如图2-73)，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程．
选题目的：熟悉对称直线方程)
师：哪位同学有思路请谈谈．
生：先求出已知两直线的交点，设l2的斜率为k，由两条直线的夹角公式可求出k，再用点斜式求得l2的方程．
让这位同学在黑板上把解题的过程写出来，大家订正．)
由点斜式，l2的方程为4x-6y+3=0．
师：还有别的解法吗？
生：在直线l1上任取一点，求出这点关于2x-2y+1=0对称的点，然后再利用交点，两点式可求出l2的直线方程。
让这位学生在黑板上把解题过程写出来，如有错误，大家订正．)
解由方程组：
师：还有别的解法吗？
生：在l2上任取一点p(x，y)，则p点关于2x-2y+1=0对称的点p′(x′，y′)在l1上，列出p，p′的方程组，解出x′，y′，代入l1问题就解决了．
师：请你到黑板上把解题过程写出来．
解设p(x，y)为l2上的任意一点，则p点关于直线2x-2y+1=0对称，点p′(x′，y′)在l1上(如图2-75)，又因为p′(x′，y′)在直线l1：3x-2y+1=0上，所以3·x′-2y′+1=0．
即l2的方程为：4x-6y+3=0．
师：很好，大家刚才的几种解法是求对称直线方程的常规方法．那么，如果把l1改为曲线，怎样求曲线关于一条直线对称的曲线方程呢？
引申：已知：曲线c：y=x2，求它关于直线x-y-2=0对称的曲线方程．
选题目的：进一步熟悉对称曲线方程的一般方法．)
师：例1中的几种解法还都适用吗？
生：第二种和第三种方法还能适用．
师：谁来试一试？
生：可先在y=x2上任取一点p0(x0，y0)，它关于直线的对称点p′(x1，y1)，可得它们的交点，从中解出x0，y0代入曲线y=x2即可(如图2-76)．
让学生把他的解法写出来．)
解设p0(x0，y0)是曲线c：y=x2上任意一点，它关于直线x-y-2=0对称的点为p′(x1，y1)，因此，连结p0(x0，y0)和p′(x1，y1)两点的直线方程为y-y0=-(x-x0)．
师：还有不同的方法吗？
生：用两点关于直线对称的方法也能解决．
师：把你的解法写在黑板上．
生：解：设m(x，y)为所求的曲线上任一点，m0(x0，y0)是m关于直线x-y-2=0对称的点，所以m0定在曲线c：y=x2上．
代入c的方程可得x=4y2+4y+6．
师：大家再看一个例子．
点出发射到x轴上后，沿圆的切线方向反射，求这条光线从a点到切点所经过的路程．(如图2-77)
师：解这题的关键是什么？
生：关键是找到x轴的交点．
师：有办法找到交点吗？
生：没人回答．
师：交点不好找，那么我们先假设m就是交点，利用交点m对解决这个问题有什么帮助吗？
生：既然am是入射光线，md为反射光线，d为切点，这样入射角就等于反射角，从而能推出∠amo=∠dmx．
师：我们要求|am|+|md|能解决吗？
生：可以先找a关于x轴的对称点a′(0，-2)，由对称的特征知：|am|=|a′m|，这样把求|am|+|md|就可以转化为|a′m|+|md|即|a′d|．
师：|a′d|怎么求呢？
生：|a′d|实际上是过a′点到圆切线的长，要求切线长，只需先连结半径cd，再连结a′c，在rt△a′cd，|cd|和|a′c|都已知，|ad|就可以得到了．(如图2-77)
让这位学生把解答写在黑板上．)
解已知点a关于x轴的对称点为a′(0，-2)，所求的路程即为。
师：巧用对称性，化简了计算，很好．哪位同学能把这个题适当改一下，变成另一个题目．
生：若已知a(0，2)，d(4，1)两定点，在x轴上，求一点p，使得|ap|+|pd|为最短．
师：谁能解答这个问题？
生：先过a(0，2)关于x轴的对称点a′(0，-2)，连结a′d与x轴相交于点p，p为所求(如图2-78)．
师：你能保证|ap|+|pd|最短吗？
生：因为a，a′关于x轴对称，所以|ap|=|a′p|，这时|ap|+|pd|=|a′d|为线段，当p点在x轴其他位置上时，如在p′处，那么，连结ap′、a′p′和p′d．这时|ap′|+p′d|=|a′p|+|p′d|＞|a′d|．理由(三角形两边之和大于第三边)．所以|a′d|为最短．即p为所求．
师：这题还能不能再做些变形，使之成为另一个题目？
x轴和圆c上的动点，求|am|+|mp|的最小值．
师：哪位同学能够解决？
生：先作a点关于x轴的对称点a′(0，-2)，连结a′和圆心c，a′c交x轴于m点，交圆于p点，这时|am|+|mp|最小(如图2-79)．
师：你怎样想到先找a点关于x轴的对称点a′的呢？
生：由前题的结论可知，把am线段搬到x轴下方，尽可能使它们成为直线，这样|a′m|+|mp|最小．
师：很好，大家一起动笔算一算(同时让这位学生上前面书写)．
生：解a点关于x轴的对称点为a′(0，-2)，连a′c交x轴于m，交圆c于p点，因为a′(0，-2)，c(6，4)，所以|a′c|=
师：我们一起看下面的问题．
例3 若抛物线y=a·x2-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围．
师：这题的思路是什么？
生：如图2-80，设a(x1，y1)，b(x2，y2)是抛物线上关于直线x=-
师：很好，谁还有不同的解法吗？
生：曲线y=ax2-1关于直线x+y=0对称曲线方程为：-x=ay2-1，解方。
圆锥曲线教案
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圆锥曲线 双曲线
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