第九节直线与圆锥曲线的位置关系。
一、复习目标：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值；掌握对称问题的求法。
二、重难点：重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值。难点：圆锥曲线的有关范围与最值问题。
三、教学方法：讲练结合，探析归纳。
四、教学过程。
一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。
学生阅读复资p126页教师讲解，增强目标意识及参与意识。
二）、知识梳理，方法定位（学生完成复资p126页填空题，教师准对问题讲评）
1、直线与圆锥曲线c的位置关系。
将直线的方程代入曲线c的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2+bx+c=0.
1）交点个数。
当 a=0或a≠0，⊿=0 时，曲线和直线只有一个交点；
当 a≠0,⊿>0时，曲线和直线有两个交点；
当⊿<0 时，曲线和直线没有交点；
2) 弦长公式：
利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理．
当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算．
2、中点弦问题：
设a(x1，y1)，b(x2，y2)是椭圆上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，m(x0，y0)为ab的中点，则两式相减可得。
即。对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．
3、对称问题：
曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上。
4、重难点问题探析：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题。
1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能。
求弦长时用韦达定理设而不求。
弦中点问题用“点差法”设而不求。
2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用。
例1 直线与双曲线的右支交于不同的两点、.
i）求实数的取值范围；（ii）是否存在实数，使得以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
解：（i）由方程组消去得。
设由题意，直线与双曲线的右支交于不同两点，
ii）假设存在实数，使得以线段为直径的圆恰好过，则，，，即，整理得。将及，代入并化简可得。解得或（舍去）. 故存在满足题意。
例2 设经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于不同的两点、，为坐标原点。（i）若，求的值；（ii）当的面积最大时，求的值。
解：（i）直线的方程为，由得。
由题意，， 设则有①，②由可得，③.
由①②③联解可得，且满足。故的值为。
ii）结合图形可知的面积。
易知当时，取得最大值，此时的值为。 （注：求的表达式时，题解中用的是图形的割补思想，若用点到直线的距离及弦长来处理，可得到同样的结果。）
二、点差法。
将圆锥曲线上的两点、的坐标代入圆锥曲线的方程，然后将两式作差并进行变形，可得到弦的斜率与弦中点的坐标之间的关系式。此关系式可用于解决如下问题：（1）以定点为中点的弦的方程；（2）平行弦中点的轨迹；（3）过定点的弦的中点的轨迹；（4）对称问题。
例3 已知椭圆。(i)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；(ii)过的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程；(iii)求过点且被点平分的弦所在直线的方程。
解：设弦的两端点为，中点为，则有。
由，两式作差得：,.即。①
i）设弦中点为，由①式，， 故所求的轨迹方程为（在已知椭圆的内部）.
ii）不妨设交椭圆于、，弦中点为。由①式，，又∵，.整理得此即所求的轨迹方程。
iii）由①式，弦所在的直线的斜率，故其方程为，即。
例4 如果抛物线上总有关于直线对称的相异两点，试求的范围。
解： 设两相异对称点为，线段的中点为。由，作差得， ,即。由直线与直线垂直，得，∴.又在上 , 故点的坐标为。
应在抛物线的内部，以原点为参考点，结合图形可知：当时，条件为，代入解得；当时，条件为，代入解得。 综上所述：的范围为。
注：此题也可用解方程组的思想解决）
总结评述：（1）“解方程组”与“点差法”都体现了“设而不求，整体代换”的解题思想与重要技巧。（2）“解方程组”是处理直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法，它也可用来解决“中点与对称”问题，但运算较繁，“点差法”则显得简捷、灵活。
（3）在控制直线与圆锥曲线相交时，“点差法”用的条件是“中点在曲线内部”，“解方程组”用的条件“”.
例4另解： 设两相异对称点为，线段的中点为。又设直线的方程为，由方程组得。由题意，①，且。点的横坐标。
又在上 , 再代入直线得。
②. 将②代入①式得，解得。
故的范围为。
三）、基础巩固导练。
1、 已知点f（，直线，点b是l上的动点。若过b垂直于y轴的直线与线段bf的垂直平分线交于点m，则点m的轨迹是。
a．双曲线 b．椭圆 c．圆 d．抛物线。
解析]d. [mb=mf]
2、 是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是 ．
解析]≤3、 若双曲线与圆有公共点，则实数的取值范围为。
解析] [4、（09福建卷理）过抛物线的焦点f作倾斜角为的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的长为8，则。
解析：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。
5、（09宁夏海南卷文）已知抛物线c的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线c交于a，b两点，若为的中点，则抛物线c的方程为。
解析】设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，＝k＝2×2，故。
6、（09宁夏海南卷理）设已知抛物线c的顶点在坐标原点，焦点为f(1，0)，直线l与抛物线c相交于a，b两点。若ab的中点为（2，2），则直线的方程为。
解析：抛物线的方程为，答案：y=x
7、已知直线y=－x+1与椭圆相交于a、b两点，且线段ab的中点在直线l：x－2y=0上，求此椭圆的离心率。
解析]设，ab的中点为，代入椭圆方程得，两式相减，得。 ab的中点为在直线上，，，而。
四）、小结：1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况．
2．涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式．对于存在性问题，还需用判别式进一步检验．
3．对称问题，要注意两点：垂直和中点．
圆锥曲线与直线
课时作业 六十八 1 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点f与双曲线 1的一个焦点重合，直线y x 4与抛物线交于a，b两点，则 ab 等于 a 28b 32 c 20 d 40 2 已知ab为半圆的直径，p为半圆上一点，以a b为焦点且过点p作椭圆，当点p在半圆上移动时，椭圆的离心率有 a 最大...
直线与圆锥曲线
教学目标 能综合应用直线与圆锥曲线的有关知识解题。一 基础题 1 设抛物线y2 8x的准线与x轴交于点q，若过点q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是。a b 2，2 c 1，1 d 4，4 2 已知双曲线中心在原点且一个焦点为f,直线与其相交于m n两点，mn中点的横坐标为，则此双...
直线与圆锥曲线
2.5 直线与圆锥曲线。学习目标 1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系 2.会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题。3.大胆质疑，积极讨论，高效学习，勇于展示自己的观点与解法，以极度的热情投入到合作与学习中，体验学习的快乐。学法指导 1.预习教材p67 p70，找出疑惑之处。2.根据学案的提示，课前...