圆锥曲线。
圆、椭圆、抛物线、双曲线）
一、 背景知识。
二、 定义。
1. 焦点——准线观点。
到定点的距离与到定直线的距离比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当e＞1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当0＜e＜1时为椭圆，当e=0时为圆；
注：严格来说这种观点只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义，但因其使用广泛，并能引导出圆锥曲线中重要的集合概念和性质。）
2. 几何观点。
用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为一点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
3. 代数观点。
在笛卡尔平面上，二元二次方程的图像是圆锥曲线。根据判别式的不同，也包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。
三、概念（焦点——准线观点下）
1) 焦点：定义中提到的定点；
2) 准线：定义中提到的定直线；
3) 离心率：曲线上一点到焦点与准线的距离比；
4) 焦准距：焦点到准线的距离；
5) 焦半径：焦点到曲线上点的距离；
6) 通径（物理学中又叫正焦弦）：过焦点、平行于准线的直线交曲线与两点，该两点之间的线段；
四、 定理。
1) pappus（帕普斯）定理：圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以离心率。
2) pascal（帕斯卡尔）定理：圆锥曲线的内接六边形，若对边两两不平行，则该六边形对边延长线的交点共线。（对于退化的情形也适用）
3) brianchon（布列安桑）定理：圆锥曲线的外切六边形，其三条对角线共点。
4) 冰淇淋定理(说明了圆锥曲线几何定义与焦点——准线定义的等价性)
即有一以q为顶点的圆锥（蛋筒），有一平面π'（你也可以说是饼干）与其相截得到了圆锥曲线，作球与平面π'及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个（或者另一个在无穷远处），则切点为焦点。又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面π与π'之交为直线d（曲线为圆时d为无穷远线），则d为准线。图如下：
证明：假设p为曲线上一点，联线pq交圆o于e。设平面π′与π的交角为α，圆锥的母线（如pq）与平面π的交角为β。
设p到平面π 的垂足为h，h到直线d的垂足为r，则pr为p到d的垂线（三垂线定理），而∠prh=α。因为pe、pf同为圆球之切线，得pe=pf,图如下：
如此则有：pr·sinα=pe·sinβ=pf·sinβ=ph（其中：pf/pr=sinα/sinβ为常数。）
注：图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。）
五、 性质：
一) 椭圆：文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离和等于定长2a的点的集合（设动点为p，两个定点为f1和f2，则pf1+pf2=2a）。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：1、 中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：，其中，a＞b＞0,c＞0, c=a-b。
2、 中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：，其中，a＞b＞0,c＞0, c=a-b。
参数方程：x=acosθ；y=bsinθ （为参数，0≤θ≤2π)
二) 双曲线：文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e;平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离差等于定长2a的点的集合（设动点为p，两个定点为f1和f2，则pf1-pf2=2a且pf2-pf1=2a）定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：，其中a>0，b>0，c=a+b.
2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：，其中a>0，b>0，c=a+b.
参数方程：x=asecθ；y=btanθ （为参数 )
三) 抛物线：文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是等于1。定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线。
参数方程(y2=2px)
x=2pt y=2pt (t为参数） t=1/tanθ（tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0
直角坐标。y=ax+bx+c （开口方向为y轴，a≠0） x=ay+by+c （开口方向为x轴，a≠0 );
四) 离心率：椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。且当01时为双曲线。
五) 极坐标方程。
1、在圆锥中，圆锥曲线极坐标方程可表示为：，其中l表示半径，e表示离心率；
2、在平面坐标系中，圆锥曲线极坐标方程可表示为：,其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。[1]
六）焦半径。
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。
圆锥曲线左右焦点为f1、f2，其上任意一点为p(x,y），则焦半径为：
椭圆。pf1|=a+ex
pf2|=a-ex
双曲线。p在左支，|pf1|=－a-ex |pf2|=a-ex
p在右支，|pf1|=a+ex |pf2|=－a+ex
p在下支，|pf1|= a-ey |pf2|=a-ey
p在上支，|pf1|= a+ey |pf2|=－a+ey
抛物线。pf|=x+p/2
七）切线方程。
圆锥曲线上一点p（x0,y0）的切线方程：
以x0x代替x2，以y0y代替y2,以代替x,以代替y；即得：
椭圆：，双曲线：；抛物线：；
八）焦准距。
圆锥曲线的焦点到准线的距离p，叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。
椭圆：双曲线：
抛物线：p九）焦点三角形。
椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形。
设f、f分别为椭圆或双曲线的两个焦点，p为椭圆或双曲线上的一点且pff能构成三角形。
若∠fpf=θ，则椭圆焦点三角形的面积为；
双曲线焦点三角形的面积为。
（十）通径。
圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦称为通径。
椭圆的通径：
双曲线的通径：
抛物线的通径：2p
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