圆锥曲线的专题。
有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。
一、定点、定值问题：
这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：
是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。
例题1】已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于a、b两点，又已知点的坐标是．（i）证明·为常数；（ii）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．
解：由条件知，设，．
i）当与轴垂直时，可求得点a、b的坐标分别为，，此时则有．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入，则有．则是上述方程的两个实根，所以，，于是．
综上所述，为常数．
ii）设，则，，，由得：即于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为a、b两点在双曲线上，所以，，两式相减得。
即．将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．所以点的轨迹方程是．
例题2】已知a,b为椭圆(a>b>0)和双曲线的公共顶点，p,q分别为双曲线和椭圆上不同于a,b的动点，且有+=(r,||1),设ap,bp,aq,bq斜率分别为k1,k2,k3,k4,求证：k1+k2+k3+k4为一个定值。
解、点a(-a,0)；b(a,0)；∵由+=(依据向量加法的平行四边形法则，则有o、q、p三点共线；设p(x1,y1)、q（x2，y2）,则- =1,则x12-a2 =·y12；∴ k1+k2
同样有k3+k4=·；由于=，∴所求的定值为0。
点拨：本题中的特殊位置难以确定，因而采用直接推理、计算；并逐渐化简，从而得到其定值为0。
二、最值问题：
常见解法有两种：几何法与代数法。①若题目中的条件或结论能明显体现某种几何特征及意义，或反映出了某种圆锥曲线的定义，则直接利用图形的性质或圆锥曲线的定义来求解，这就是几何法；②将圆锥曲线中的最值问题通过建立目标函数，转化为二次函数或三角函数的最值问题，再充分利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去求解。
例题3】、抛物线x2=4y的焦点f和点a(-1,8),p为抛物线上一点，则|pa|+|pf| 最小值是( )
a 6 b 9 c 12 d 16
若将上题中点a的条件改为a(3,1),其它不变，则应为___
解析：由抛物线定义，可知当a、p、h（如图1）三点共线时，|pa|+|pf|最小，其最小值为9。条件改动之后，则当a、p、f三点共线时（如图2），|pa|+|pf|最小，其最小值为3。
点拨：本题的求解，主要是扣住了抛物线的定义，充分挖掘图形的特征，从而解决所求之问题。运用几何法求解，解答过程简单、明了，但对综合运用图形的几何性质（或把握曲线定义的灵活运用）的能力要求较高。
例题4】设是抛物线的焦点．设a、b为抛物线上异于原点的两点，且满足，延长，分别交抛物线于点c、d，求四边形面积的最小值．
解：设，；由题意知，直线的斜率存在，由对称性，不妨设．
因直线过焦点，所以直线的方程为．点a、c的坐标满足方程组得，由根与系数的关系知
则有：．因为，所以的斜率为，从而的方程为．同理可求得．∴．当时，等号成立．所以，四边形面积的最小值为．
点拨：本题首先通过计算，建立好四边形面积的函数表达式，然后根据其函数特征，转化出均值不等式的形式，再利用均值不等式求出其最小值。
例题5】在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
1）求圆的方程；（2）圆与轴相交于a、b两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．
解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，即；得圆的方程为．（2）不妨设．由即得．
设，由成等比数列，得，即． 由于点在圆内，故由此得．所以的取值范围为．
点拨：本题同样是先通过计算，建立好“”的函数表达式，然后依据“点在圆内”，得出相应的约束条件“”，从而得出所求。
三、求参数的取值范围范围问题：
求参数的取值范围问题，常用的解决方法有两种：①、第一种是不等式（组）求解法根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）再得出参数的变化范围；②、第二种是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。
例题6】若圆x2+(y-1)2= 1上的任一点p(x,y),有不等式x+y+c≥0恒成立，则c的取值范围是___
解：可设；则有cos+sin+1+c≥0恒成立，即有c≥ -cos+sin+1)恒成立， ∴c≥-1为所求。
点拔：本题通过圆的参数方程进行三角代换，将所求问题转化成求三角函数的最值的问题，从而简捷易解。
例题7】如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．
ⅰ）求动点的轨迹的方程；
ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．
1）已知，，求的值；
2）求的最小值．
解析：（ⅰ由得：，，
所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．
ⅱ）、1）：由已知，，得．则：．…
过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，则有：．…
由①、②得：，即．
ⅱ）、2）：设直线的方程为：．
设，，又，联立方程组，消去得：，，
当且仅当，即时等号成立，所以最小值为．
点拨：本题中“求的值”，首先是建立好条件不等式组，再化简计算得出所求。
四、对称问题：
包括两种情形：①、中心对称问题：常利用中点坐标公式求解；②、轴对称问题：
主要抓住以下两个条件去处理---垂直，即已知点与对称点的连线与对称轴垂直；中点，即连结已知点和对称点的线段的中点在对称轴上。
例题7】如图， 直线y=x与抛物线y=x2－4交于a、b两点， 线段ab的垂直平分线与直线y=－5交于q点。
(1) 求点q的坐标；(2) 当p为抛物线上位于线段ab下方(含点a、b) 的动点时， 求△opq面积的最大值。
解析：(1) 解方程组得或者； 即a(－4,－2),b(8,4), 从而ab的中点为m(2,1). 由kab==,直线ab的垂直平分线方程y－1= (x－2).
令y=－5, 得x=5, ∴q(5,－5)
(2) 直线oq的方程为x+y=0, 设p(x, x2－4). 点p到直线oq的距离；
∴ d==,sδopq==.
∵p为抛物线上位于线段ab下方的点， 且p不在直线oq上， ∴4≤x<4－4或4－4 ∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增， 且当x=－4时，|x2+8x－32|=48 当x=8时，|x2+8x－32|=96
∴当x=8时， δopq的面积取到最大值。
点拨：本题中“直线ab的垂直平分线方程”的求解，主要是抓住两个条件(1)、垂直；（2）、中点；从而完成所求。
例题8】在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．
i）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；
ii）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
解析：（ⅰ依题意，点的坐标为，可设，直线的方程为，与联立得消去得．由韦达定理得，．于是，当时，．
ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，则，点的坐标为．，令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．
点拨：本题中“点是点关于坐标原点的对称点”，利用中点坐标公式，很快就得出点n的坐标了。
五、实际应用问题：
此类问题要建立好平面直角坐标系，建立好数学模型，实现应用问题向数学问题的转化。
例题9】如图，b地在a地的正东方向4 km处，c地在b地的。
北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸pq（曲线）上任意一点。
到a的距离比到b的距离远2 km。现要在曲线pq上选一处m建一座。
码头，向b、c两地转运货物。经测算，从m到b、m到c修建公路的费用。
分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）
a．(2－2)a万元 b．5a万元
c．(2+1) a万元 d．(2+3) a万元。
解析：这是福建省2024年的一道高考题。
、首先，建立如图所示的直角坐标系，则点a（-2，0），b（2，0），c（3，）；
、 pq曲线是以a、b为焦点的双曲线的右支，其轨迹方程为：，其离心率为e=2,准线方程为x=
、 考查修建这两条公路的总费用。
y =|mb|·a+|mc|·2a=(|mb|+2·|mc|)·a，由于点b为曲线的焦点，则有= e = 2,则|mb|=2·|mh|，从而有y =(2·|mh|+2·|mc|)·a=(|mh|+|mc|)·2a,由图显然可知，当h、m、c三点共线时，y费用最少，最少费用为（3-）×2a = 5a万元；所以本题选（b）。
点拨：本题首先要建立好平面直角坐标系，再依据双曲线的第二定义去转化所求，从而得出答案。
总之，圆锥曲线的常见综合问题的处理思路和方法可归纳概括如下：
1、 直线与圆锥曲线的位置关系：
1 要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或消去x）得到关于x（或关于y）的一元二次方程，再考查其△，从而确定直线与圆锥曲线的的交点个数：（1）若△<0，则直线与圆锥曲线没有公共点；②若△=0，则直线与圆锥曲线有唯一的公共点；③若△>0，则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点；
2 从几何角度来看：直线与圆锥曲线的位置关系对应着相交（有两个交点）、相切（有一个公共点）、相离（没有公共点）三种情况；这里特别要注意的是：当直线与双曲线的渐近线平行时、当直线与抛物线的对称轴平行时，属于相交的情况，但只有一个公共点。
2、 直线被圆锥曲线截得的弦长问题：
1 直线与圆锥曲线有两个交点a（x1,y1)、b(x2,y2) ，一般将直线方程l：y=kx+m代入曲线方程整理后得到关于x的一元二次方程则应用弦长公式：|ab|=；或将直线方程l:
2 过焦点的弦长的求解一般不用弦长公式去处理，而用焦半径公式会更简捷；
圆锥曲线题型
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圆锥曲线题型
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