一、基础题。
1．求适合条件的椭圆的标准方程．
1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；
2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．
分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由求出，，在得方程后，不能依此写出另一方程．
解：（1）设椭圆的标准方程为或．
由已知．①又过点，因此有或．②
由①、②得，或，．故所求的方程为或．
2）设方程为．由已知，，，所以．故所求方程为．
说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程或．
2． 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点，且焦点在坐标轴上．
2），经过点（－5，2），焦点在轴上．（3）与双曲线有相同焦点，且经过点。
解：（1）设双曲线方程为，∵ 两点在双曲线上，∴解得。
所求双曲线方程为
说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的。
2）∵焦点在轴上，，∴设所求双曲线方程为：（其中）
双曲线经过点（－5，2），∴或（舍去），∴所求双曲线方程是。
3）设所求双曲线方程为：，∵双曲线过点，∴
或（舍），∴所求双曲线方程为。
说明：与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后，便有了以上巧妙的设法．
3．求与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程及离心率．
解法一：双曲线的渐近线方程为：
1）设所求双曲线方程为。
在双曲线上∴ ②由①－②得方程组无解。
2）设双曲线方程为。
∵在双曲线上由③④得，，
所求双曲线方程为：且离心率。
解法二：设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：
点在双曲线上，∴，所求双曲线方程为：，即．
说明：（1）不难证明与双曲线共渐近线的双曲线方程．
一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程．
4．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点p（4，2）的抛物线方程是（ ）
a) x2＝8y (b) x2＝4y (c) x2＝2y (d)
5．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为
二、解答题。
6．求以曲线和的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．
解：∵，或，∴渐近线方程为。
当焦点在轴上时，由且，得．
所求双曲线方程为。
当焦点在轴上时，由，且，得．
所求双曲线方程为。
说明：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握．
2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成．
7． 已知双曲线的渐近线方程为，两条准线间的距离为，求双曲线标准方程．
解：∵双曲线渐近线方程为，∴设双曲线方程为。
1）若，则，，∴准线方程为：，∴
2）若，则，，∴准线方程为：，∴所求双曲线方程为：或。
8． 中心在原点，一个焦点为的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为，求双曲线标准方程．
解：设双曲线的标准方程为，则，解得。
为所求双曲线的标准方程．
9． 求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点且离心率为的双曲线标准方程．
解：设所求双曲线方程为：，则，，∴所求双曲线方程为。
说明：（1）离心率是双曲线的等轴双曲线的充要条件，证明如下：设等轴双曲线，则，∴，
反之，如果一个双曲线的离心率．∴，双曲线是等轴双曲线。
2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等．
10． 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
解：（1）当为长轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；
2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；
说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
11．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：由题意，设椭圆方程为，由，得，，∴为所求．
说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
12．已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程 （答案：）
13．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，原点在直线上的射影为，求抛物线的方程
答案：）14．已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程。
答案：）15．已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为坐标原点）且，求抛物线的方程
答案：）16．顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程（ 答案：或）
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