圆锥曲线方程

【考点审视】

1．考点分析：圆锥曲线是平面几何的核心内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中占总分的15%左右。综观近年来的高考试题，一是圆锥曲线在高考试题中所占的比重大，题型、题量、难度保持相对稳定，且选择题、填空题、解答题均涉及；二是难度所占比重大，解答题多次在“压轴题”**现，集中体现对同学们综合知识和灵活应变能力的考查。

估计2023年高考中，对圆锥曲线的考查仍将保持稳定。圆锥曲线的概念和性质，求曲线方程或点的轨迹，直线与圆锥曲线的关系，两圆锥曲线的关系，定值、最值问题仍将是主要考查内容。特别注意解析几何与向量、三角、代数结合的学科内综合性的问题。

2．考试要求：

掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；

掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线的简单几何性质；

掌握抛物线的定义，标准方程和抛物线的简单几何性质；

了解圆锥曲线的一些实际应用，了解用坐标研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法。

疑难点拔】1．要点归纳：

圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质。

直线和圆锥曲线的位置关系，常用联立方程组、判别式来判断，特别当直线与圆锥曲线有两个相异的公共点时，则此直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。注意弦长公式。

关于圆锥曲线的中点弦问题，常用点差法，或联立方程组解决。

轨迹问题①常用方法有：直接法；待定系数法；定义法；转移法；参数法。②区别是“求轨迹”还是“求轨迹方程”，若是“求轨迹”，求出方程后，还应指出方程所表示的曲线类型。

③要注意轨迹的范围问题。

圆锥曲线的最值问题：解法一般分为两种，一是几何法，特别是圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来处理；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用重要不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等来求解。

2．错题分析。

例1．设f1、f2是双曲线的焦点，点p在双曲线上，若点p到焦点f1的距离等于9，求点p到焦点f2的距离。

错解（1）双曲线的实轴长为8，由，即。

错解（2）由双曲线第一定义：，∴

∴或17解析：错解（1）对双曲线第一定义掌握不够，属于概念性错误；

错解（2）若，则由＜

这与“三角形两边之和大于第三边”矛盾。

故正确答案为。

例2、已知双曲线（1，1）能否作一条直线a，b两点，且p为线段ab 的中点？

错解：设能作直线满足条件，设（），b（）则。化为。

）即。解析：用“点差法”得出的结论必须加以验证。

正解：把直线代入双曲线方程为。

即直线与双曲线无公共点。

不存在直线满足条件。

例3、求离心率为（4，0），相应的准线方程为的椭圆方程。

错解：由条件知。

故所求的轨迹方程为。

解析：错解的原因是按椭圆的中心在原点得出结论，造成遗漏题设条件，从而导致错误的结果。

正解：设椭圆上任意一点p（），由椭圆的焦点f（4，0），相应的准线方程为，且。

经典题例】例1、设双曲线与（a＞0，b＞0）的离心率分别为e1、e2，则当a、b变化时，的最小值是（）

a）2 (b)4 (c)4 (d)

思路分析]由题意知：e1=, e2=,=4

当且仅当 a=b时等号取得，则（）min=4

简要评述]本题难点之一是分别求出两双曲线的离心率的表达式。如果不理解离心率的实质，盲目套用“e=”必将导致错误。双曲线的离心率=，将目标函数转化为只有一个自变量的函数是解决这类问题的常用方法。

例2、已知双曲线－y2=1，m为其右支上一动点，f为其右焦点，点a（3，1），则的最小值为。

思路分析]∵（f1为双曲线的左焦点）

当m、f、a三点共线时，最小为。

简要评述]本题巧妙地运用双曲线的第一定义，没有=

2a这一步的转化，则解题很可能陷入僵局。

例3、已知的两个焦点，p是椭圆上一点，且，请将题目中所空缺的一个可能条件填入___处。

思路分析]此题所空缺条件一般是应满足什么条件。

首先确定焦点所在的坐标轴。假设焦点在轴上，由题意有则。

从而。与题设矛盾，知椭圆的焦点在轴上。

于是。有，亦即。

综上应有。答案可以是满足的任一开放条件。

简要评述]焦点三角形的面积问题是解析几何中一种常见问题，改变一下问题的结构形式，将其设计成一个条件开放性问题，思考与训练的价值是相当大的。本题的难点之一是确定焦点所在位置，考查了分类讨论的思想。

例4、已知一条曲线上的每个点到a（0,2）的距离减去它到x轴的距离差都是2.

（1）求曲线的方程；

（2）讨论直线a(x－4)+b(y－2)=0(a，b∈r)与曲线的交点个数。

思路分析]1）设点m(x,y)是曲线上任意一点，则－|y|=2，整理=|y|+2，所求曲线的方程。 c1：当y0时， x2=8y；

c2：当y<0时，x=0

2）直线a(x－4)+b(y－2)=0过定点(4,2)且a、b不同时为零，数形结合）当b=0时，a0，直线x=4与曲线有1个的交点；

当b0时，令k=－，则y=k(x－4)+2，与x2=8y联列：x2－8kx+32k－16=0

当=0时，k=1，即a=－b时，直线与c1和c2各一个交点；

当k>1时， <1时，直线与c1两个交点，和c2一个交点；

当当k时，－时，直线与c1有两个交点。

直线与曲线有1个的交点，当b=0时，a0；

直线与曲线有2个的交点， a=－b和－；

直线与曲线有3个的交点，－1<<－和<－1.

[简要评述]轨迹问题是高考考查的热点，本题主要考查用定义法求轨迹方程，还考查了数形结合的思想、方程思想和分类讨论的数学思想。

例5、椭圆的中心是原点o，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点a，，过点a的直线与椭圆相交于p、q两点。

(i) 求椭圆的方程及离心率；

(ii)若求直线pq的方程；

[思路分析](i)：由题意，可设椭圆的方程为（a＞）

由已知得。解得。

所以椭圆的方程为，离心率

ii) 由(i)可得。

设直线pq的方程为由方程组。

得依题意得。

设则。由直线pq的方程得于是。

由①②③得从而。

所以直线pq的方程为或

简要评述]利用向量引进条件，体现了新课程、新教材的要求，新内容与传统内容的联系，这是高考新课程卷的创新题型和发展趋势。平面向量的知识与解析几何的知识得到了很好的结合，是一个典型的考查综合能力的试题。

例6．如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点p(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于a、b两点，点q是点p关于原点的对称点。

(ⅰ)设点p分有向线段所成的比为λ，证明。

ⅱ)设直线ab的方程是x－2y+12=0,过a、b两点的圆c与抛物线在点a处有共同的切线，求圆c的方程。

思路分析](ⅰ)依题意，可设直线ab的方程为。

代入抛物线方程得。

设a、b两点的坐标分别是（x1,y1）、(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根。所以。

由点p（0，m）分有向线段所成的比为，得，即。

又点q是点p关于原点的以称点，故点q的坐标是（0，--m）,从而。

0，所以。(ⅱ)由得点a、b的坐标分别是（6，9）、（4，4）。

由得，所以抛物线在点a处切线的斜率为。

设圆c的方程是，则。

解之得所以圆c的方程是，简要评述]函数处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线斜率，这就为解决解析几何中的曲线的切线问题提供了有利的工具。

例7 如图，已知的面积为s,且。

1)、若，求向量与的夹角的范围；

2）、设，若以o为中心，f 为焦点的椭圆经过点q，求q的纵坐标；

3）、在（2）的条件下，当取得最小值时，求此椭圆的方程。

思路分析]（1）由已知得：

则 2）以o为原点，所在直线为轴建立坐标系，设椭圆方程为。

设q点的坐标为。

3）又由。

得。简要评述]平面向量已成为中学数学解决问题的一种必备工具，它已经从高考后台走向前台，因此平面向量很容易成为中学数学的一个交汇点，与曲线、数列、三角等综合命题，考查逻辑推理与运算能力，为多角度展开解题提供了广阔的空间。

例８、已知椭圆，椭圆上有不同的三点a，b，ｃ且成等差数列，（1）求弦ac的中点m的横坐标；（2）设弦ac的垂直平分线的方程为。

思路分析]1）由题意可得，，由焦半径公式，得。

由此有。故弦ac的中点的横坐标。

2）将代入，故点m的坐标为（），则，又。由。即。

简要评述]此题的难点在“如何建立参数m的不等关系”利用程序二求出弦ac的中点m的坐标（坐标中含参数m），由点m 必在椭圆内，得关于m 的不等关系。这是解决二次曲线弦中点问题的通法，大家要认真领会，熟练掌握。

1、抛物线顶点是坐标原点，焦点是椭圆的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是（ b ）

abcd)

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