第二章圆锥曲线综合练习（2）
求曲线方程。
例题精选】例1：点p与一定点f (2,0)的距离和它到一定直线的距离的比是1∶2，求点p的轨迹方程。并说明轨迹是什么图形。
分析：此题的给出恰符合圆锥曲线的统一定义，又因为其比值为< 1。
所以轨迹是一个椭圆。
解法一：用待定系数法。
根据题意有解得a = 4
又。∴ 轨迹方程为。
解法二：轨迹法。
设点p, 点p到定直线的距离为。
即： 化简得为所求方程动点p的轨迹方程。
轨迹曲线是以4为半长轴、为半短轴；中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆。
例2：已知定圆，动圆m和定圆相切，又和y轴相切，求动圆圆心m的轨迹方程。
分析：动圆和定圆外切之和，圆又和y轴相切，圆的半径用圆心 m横坐标|x|来表示，这样动点m满足的几何条件已得到，再由解析几何中的公式代换了可得到的轨迹方程。
解：设动圆圆心m
动圆半径为|x| =r′
又定圆 即
圆心（11，0）
半径r = 1
解有。即： 等式两边平方后得：
化简得： ∴时，轨迹方程为。
时，轨迹方程为。
说明：先求动点满足的几何关系，然后用解析几何中公式进行坐标论，化简方程，找到所有满足条件的点，这就是轨迹法求方程的最基本方法。
例3：已知⊙o方程为，圆外有一定点，求过点a且和⊙o相切的动圆圆心的轨迹。
分析：动圆的定圆相切分外切、内切两种情况，若两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和，若两圆内切，则圆心距等于两圆半径之差，动点满足的几何条件找到了，轨迹方程可求。
解法一：设动圆圆心为p，定圆圆心为(0,1)，半径为1，由题可知动圆半径为。
⊙p与定⊙o作外切时，有。
⊙p与⊙o内切时有。
综上有。即
化简得为所求动圆圆心的轨迹方程。
解法二：由解法一得到，这说明p点是到两个定点o (0,0)，a ( 4,0)的距离的差的绝对值都是常数1。（1 < 4）的点其轨迹是以o点a点为焦点，对称中心为。
o′(2,0)，对称点为坐标轴2a = 1 2c = 4的双曲线。
∴ 轨迹方程为
说明：本题对动点满足的几何关系分析得出符合圆锥曲线的定义，故而用解法二更为简捷些。
如果本题中将“相切”改为“外切”或“内切”，则所得轨迹只能是双曲线的一支。
例4：已知椭圆与双曲线有共同的焦点，f1(0,4)，f2(0,4)，并且椭圆的长轴点是双曲线实轴长的2倍，求椭圆与双曲线交点的轨迹方程。
分析：通过椭圆和双曲线定义，建立动点满足的几何条件，再坐标化而得到轨迹方程。
或由焦点已知曲线中收为原点，坐标轴为对称轴，再需一个条件用待定系法也可求轨迹方程。
解法一：设椭圆与双曲线的交点为p ，由椭圆、双曲线定义，及已知条件得：或。即
化简得 或。
即： 化简得：
∴ 所求轨迹方程为
轨迹是两个圆除去与y轴的交点。
解法二：由题意设双曲线的实半轴长为a
则椭圆的半长就是a
又∵ c = 4
为椭圆半短轴。
为双曲线的虚轴。
则椭圆方程为……（1）
双曲线方程为……（2）
由（1）×4－（2）得。
即……（3）
（3）代入（2）得：
代回（2）中消去a得 若 即。
即 则所求的轨迹是两个圆除去它们与y轴的交点，方程是：
说明：解法一是将“a”当作参数引进后来后建立方程，不如解法一直接使用定义寻找到动点满足的几何关系简单。
例5：过抛物线的焦点，作直线与此抛物线的相交于两点p、q，求线段pq中点的轨迹方程。
分析：因过焦点的直线是过定的直线系中除对称轴外均与直线交于两点，则这些线段均有中点，由中点坐标公式可用坐标代换法，求出轨迹方程。
解法一：设直线pq
∵ f （1,0） 设pq中点m
（k存在）消x得。
由中点坐标公式知
中得：为所求的轨迹方程，（当pq方程为时弦的中点为（0，1）符合这个方程）
解法二：放pq的中点m p
则由中点坐标公式得。
∵ p、q点在抛物线上。
∴ 有 两式相减得。
∵ 焦点f（1，0）在该曲线上。
∴ 为所求的轨迹方程。
解法三：设p q
∵ m点是p、q的中点。
∵ p、q两点在抛物线上。
∴ 两式相减得。即： 时。
其中就表示直线pq的斜率。
∴代入上式中。
为所求的轨迹方程。
时pq在x轴，此时方程为x = 1，弦的中点m（1，0）符合这方程。
说明：此题提供的三种解法中，解法一是通常使用的方法，本题是在化简方程组中消去“x”，但若消“y”，计算量便显得增大，故而此法较“繁杂”。解法二是能过中点坐标公式表示线段溶点长的坐标然后再消支开始引进的p点坐标中的，相当于一种逆向思维的解题方法。
解法三是求直线与圆锥曲线相交弦的中点轨迹问题，常方法这里几个主要的数量关系为：①圆锥曲线的标准方程是二元二次方程端点p、q坐标代入后，两式相减得，若是椭圆或双曲线方程相减后为可以得到两个或一个平方差的式子，如：，而正是弦中点m的横坐标的2倍2x。
同量。②式子中当表示弦在直线的斜率，用kpq表示。
③弦的中点也在直线pq上，如本题有。
④式子右端为0，使继续运算比较简便。综上解法三最为简捷。此法也适用于下例。
例6：过点a（2，1）点作直线l交双曲线：于p、q两点，求线段pq中点的轨迹方程。
分析：这是与上例同类型的题：这里仍给出两种解法：
解法一：设pq的中点m
则有。又直线pq的斜率与ma的斜率相同。
有。∵ p、q在双曲线上。
∴ 两式相减得：
当时有。即：
当时，过a点的弦pq的方程为。
此时弦的中点为（2，0）也符合这个方程。
∴ 所求的轨迹方程为。
解法二：设pq的方程为。
消去y得。∵ 双曲线的渐近线为，其斜率为
又∵pq不平行于渐近线。
设弦pq的中点m
则即： 又∵代入上式中，∴
∴ 化简得：
k不存在时，pq方程为，弦的中点为（2，0）也符合该方程的所求的轨迹方程是。
例7：已知椭圆，直线l：，p点是l上一点，射线op交椭圆于点r，又点q在op上且满足。当点p在l上移动时，求点q的轨迹方程。
分析：本题动点q的运动依赖于①p点的运动。②这样两个关系，又o、q、r、p、d点共线，可以把p点、r点的坐标分别用动点q的坐标表示后一起代入③④⑤中去整理。
化简得轨迹方程；另外也可以过q、r、p三点分别做y轴的垂线，将转化成这三点纵坐标的关系，再求轨迹方程。
方法一：设q ，q点不在原点，
显然x,y不同是为零。
①p点不在y轴时，即时。
∵ r不在椭圆上。
又∵∵ p点在直线l上，∴解得：
∵ x、y不同时为零。
∵ q点与坐标原点o在直线l的同侧。
则： 即：
②p点在y轴上时，p（0，8）
k（0，4）
可得q（0，2），q点满足这个方程。
∴ 所求的轨迹方程是。
解法二：点的坐标同上，过p、r、q分别作y轴的垂线，垂足分别记作。
又∵即。
由题已知三个量同号。
设射线op方程为。
则。又r也在op上，∴
代入中。化简：
则为所求的轨迹方程。
说明：本题解法一仍是坐标代换法的一种形式，主要是将动点的相关点的坐标用动点坐标表示后，代入联系着它们的等式中，求出动点的轨迹方程，这里因p点在直线l：上运动，而该直线与y轴可以相交，当p点在 y轴上时，r、q也相对确定成为定值，所以在解决这个问题时，先两步，第一部p在直线l上，运动不在y轴时（完全是“动态”）情况，第二步必须再看p在y轴时q点做为定点是否符合所求的轨迹方程。
这正是容易被忽略的，必须注意。
综上，在圆锥曲线的标准方程这部分内容中，应掌握的求曲线方程的基本方法。由于求曲线方程是平面解析几何两个主要内容之一，可以题型多，方法多。但因为坐标轴平移还没学到因而涉及到园锥曲线的一般式的问题后再讲。
综合练习】1．动圆c过定点a（－3，0）并且和园相内切求动圆圆心的轨迹方程。
2．动圆与定圆c1：和定圆c2：都相外争，求动园圆心m的方程。
3．在△abc中，已知b（－3，0），c（3，0），ab、ac两边上中线长的和为18，求顶点a的轨迹方程。
4．已知△abc的三边ab、ac、ac的长成等差数列，但，b、c坐标分别为（－1，0）、（1，0），求顶点a的轨迹方程。
5．已知定点a（5，2）及定圆c：，动点p在c上运动，求线段ap中点的轨迹方程。
6．如图，a（1，0），动点p**段o上运动，以op、pa为边的第一象限内作正△ope，△pac，求ab与oc交点n的轨迹方程。
答案及提示】
2．（双曲线右支）
提示：qc1：圆心。
qc1： 设动圆圆心为m
则 显然这是双曲线的右支。
双曲线的中心为（3，0）
提示：设a ，ab、ac中点分别为d、e
则g为△abc的重心。
g点是以b、c两成为焦点的椭圆。
若 2a = 12 2c = 6 b2=27
又∵轨迹方程为（除去与x轴的交点）
提示：成等差数列。
a点是到定点b、c的距离的和为4 （且4 > 2）的点。
其轨迹是以b（－1，0），c（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆。
2c = 2 2a = 4
abc为三角形，a点不能在x轴上（）
a点轨迹方程为。
提示：设m , p
则。即。
提示：见题图。设。则。
直线ab：
直线oc：
整理得为所求轨迹方程。
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