时间：120分钟分值：150分。
第ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．过椭圆左焦点f且倾斜角为60°的直线交椭圆于a，b两点，若|fa|＝|fb|，则椭圆的离心率等于( )
ab. c. d.
解析：设|fb|＝2m(m>0)，则|fa|＝3m.分别过a，b两点作椭圆的左准线的垂线，垂足分别是a1，b1，则有e＝＝，aa1|＝，bb1|＝，cos60°＝＝因此e＝，选b.
答案：b2．椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则m的值为( )
a．2或 b．2
c.或4 d.
解析：∵x2＋my2＝1即x2＋＝1是椭圆，∴m>0.
当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝1，b2＝，c2＝a2－b2＝1－，此时m>1，由e＝＝＝m＝4；当焦点在y轴上时，a2＝，b2＝1，c2＝a2－b2＝－1，此时0答案：c
3．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为f(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实数根分别是x1和x2，则点p(x1，x2)到原点的距离为( )
a. b.
c．2 d.
解析：依题意，得x1＋x2＝－，x1x2＝，且e＝＝，则点p(x1，x2)到原点的距离为。
＝＝，故选a.
答案：a4．已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，o为坐标原点，f为右焦点，点m是椭圆右准线l上(除去其与x轴的交点)的动点，过f作om的垂线与以om为直径的圆交于点n，则线段on的长为( )
a．c b．b
c．a d．不确定。
解析：记右准线与x轴的交点为a，过f作om的垂线，垂足为b，连结mn，则有mn⊥no，△obf∽△oam，＝，ob·om＝oa·of＝·c＝a2.在rt△omn中，由射影定理得on2＝ob·om＝a2，故on＝a，选c.
答案：c5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为f，右准线为l，a、b是椭圆上的两点，且|af| |bf|＝3 2，直线ab与l交于点c，则b分有向线段所成的比为( )
a. b．2
c. d.
解析：分别过点a，b作右准线的垂线，垂足分别是a1，b1，则椭圆的离心率e＝＝，所以＝＝，又＝＝，所以＝，即点b分有向线段所成的比是，选a.
答案：a6．设向量i、j为直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量a＝(x＋1)i＋yj，b＝(x－1)i＋yj，且|a|－|b|＝1，则满足上述条件的点p(x，y)的轨迹方程是( )
a.－＝1(y≥0) b.－＝1(x≥0)
c.－＝1(y≥0) d.－＝1(x≥0)
解析：依题意，向量a＝(x＋1，y)，b＝(x－1，y)，又|a|－|b|＝1，所以－＝1，整理得－＝1(x≥0)，选择b.
答案：b7．若两个正数a、b的等差中项是，等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e等于( )
a. b.
c. d.
解析：依题意得，解得a＝3，b＝2，故双曲线的离心率e＝＝，选d.
答案：d8．已知点p在抛物线x2＝4y上，且点p到x轴的距离与点p到焦点的距离之比为1 3，则点p到x轴的距离为( )
a. b．1
c. d．2
解析：设点p(m，n)(n>0)，依题意及抛物线的定义得＝，由此解得n＝，于是点p到x轴的距离等于，选a.
答案：a9．直线mn与双曲线c：－＝1的左、右支分别交于m、n两点，与双曲线c的右准线相交于p点，f为右焦点，若|fm|＝2|fn|，又＝λ(r)，则实数λ的值为( )
a. b．1
c．2 d.
解析：分别过点m，n作右准线的垂线，垂足分别为m1，n1，则有λ＝＝又e＝＝，所以＝＝，因此λ＝，选a.
答案：a10．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2＝2px(p>0)，弦ab过焦点，△abq为阿基米德三角形，则△abq的面积的最小值为( )
a. b．p2
c．2p2 d．4p2
解析：本题直接计算比较复杂，可取值检验．对于本题，可取几条特殊直线，如：倾斜角为°的直线等，经计算比较知：
当倾斜角为90°时，△abq的面积最小，此时由x＝得y＝±p，即|ab|＝2p.又∵焦点到准线的距离d＝－＝p，此时s△abq＝×2p×p＝p2为最小值，故选b.
答案：b11．已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米，地面上的动点p到两旗杆顶点的仰角相等，则点p的轨迹是( )
a．椭圆 b．圆。
c．双曲线 d．抛物线。
解析：如图，依题意，tan∠apd＝tan∠bpc，所以3pd＝2pc，再以cd所在的直线为x轴，cd的垂直平分线所在的直线为y轴，建立直角坐标系，则c(－10,0)，d(10,0)，设p(x，y)，则。
2＝3，化简得x2＋y2－52x＋100＝0，轨迹为圆．
答案：b12．点p(－3,1)在椭圆＋＝1(a>b>0)的左准线上，过点p且方向向量为a＝(2，－5)的光线，经直线y＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为( )
a. b.
c. d.
解析：光线所在直线的方程为5x＋2y＋13＝0，被直线y＝－2反射后的光线方程为5x－2y＋5＝0，交x轴于点(－1，0)，∴c＝1，又＝3，解得a＝，e＝＝，故选d.
答案：d第ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知a(4,0)，b(－3，)是椭圆＋＝1内的点，m是椭圆上的动点，则|ma|＋|mb|的最大值是___
解析：点a恰好为椭圆的右焦点，如图，设左焦点为f，连结bf并延长交椭圆于点c，当动点m在点c的位置时，|ma|＋|mb|的值最大，即|ma|＋|mb|＝|ca|＋|cf|＋|bf|＝10＋2＝12.答案：
12如图，从双曲线－＝1的左焦点f1引圆x2＋y2＝9的切线，切点为t，延长f1t交双曲线右支于点p.设m为线段f1p的中点，o为坐标原点．则|f1tmo|－|mt|＝_
解析：连结ot、pf2，则有ot⊥f1t，在rt△of1t中，|f1t|＝＝5.由点o是f1f2的中点，点m是pf1的中点得|mo|＝|pf2|.
又点p在双曲线的右支上，因此有|pf1|－|pf2|＝2×3＝6，|mo|－|mt|＝|pf2|－(mf1|－|tf1|)＝pf2|－|pf1|＋|tf1|＝×6)＋5＝2.
答案：5 2
15．已知点p是抛物线y2＝4x上的点，设点p到抛物线准线的距离为d1，到圆(x＋3)2＋(y－3)2＝1上的一动点q的距离为d2，则d1＋d2的最小值是___
解析：设抛物线y2＝4x的焦点为f，圆(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心为m，则点f(1,0)，d1＝|pf|，结合图形分析，不难得知d1＋d2的最小值等于|mf|－1＝－1＝4.
答案：416．当α∈[时，方程x2sinα－y2cosα＝1表示的曲线可能是填上你认为正确的序号)
圆；②两条平行直线；③椭圆；④双曲线；⑤抛物线．
解析当α＝π时，sinα＝－cosα＝，此时x2sinα－y2cosα＝1，即x2＋y2＝，表示一个圆；当α＝时，sinα＝1，cosα＝0，此时x2sinα－y2cosα＝1，即x2＝1，表示两条平行直线；当<α<且α≠π时，cosα<0答案：①②
三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)(2010·四川)已知定点a(－1,0)，f(2,0)，定直线l：x＝.不在x轴上的动点p与点f的距离是它到直线l的距离的2倍．设点p的轨迹为e，过点f的直线交e于b、c两点，直线ab、ac分别交l于点m、n.
1)求e的方程；
2)试判断以线段mn为直径的圆是否过点f，并说明理由．
解析：(1)设p(x，y)，则＝2|x－|.
化简得x2－＝1(y≠0)．
2)①当直线bc与x轴不垂直时，设bc的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，与双曲线方程x2－＝1联立消去y得。
3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0.
由题意知，3－k2≠0且δ>0.
设b(x1，y1)，c(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
k2＝.因为x1≠－1，x2≠－1.
所以直线ab的方程为y＝(x＋1)，因此m点的坐标为，同理可得＝，因此·＝×
当直线bc与x轴垂直时，其方程为x＝2，则b(2,3)，c(2，－3)，ab的方程为y＝x＋1，因此m点的坐标为，＝.
同理可得＝.
因此·＝×0.
综上，·＝0，即fm⊥fn.
故以线段mn为直径的圆过点f.
18．(本小题满分12分)直线y＝x＋1交x轴于点p，交椭圆＋＝1(a>b>0)于相异两点a、b，且＝－3.
1)求a的取值范围；
2)将弦ab绕点a逆时针旋转90°得到线段aq，设点q的坐标为(m，n)，求证：m＋7n＝－1.
解析：(1)由y＝x＋1，得x＝y－1，代入＋＝1，得(a2＋b2)y2－2b2y＋b2－a2b2＝0.
设a(y1－1，y1)、b(y2－1，y2)，则y1、y2是这个一元二次方程的两个根，δ＝2b2)2－4(a2＋b2)(b2－a2b2)>0，即a2＋b2>1.①
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