龙文个性化辅导讲义。
2010 ~ 2011 学年第 2 学期）
任教科目： 数学。
授课题目：曲线与方程。
年级： 高二。
任课教师：谭老师。
龙文师资培训部编制。
主管签名教务长签名。
日期日期。龙文个性化辅导教案。
二、基础自测是点p（x0，y0）在曲线f（x，y）=0上的a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件。
2.方程x2+xy=x的曲线是a.一个点 b.一条直线 c.两条直线 d.一个点和一条直线。
3.已知点a（-2，0）、b（3，0），动点p（x,y）满足，则点p的轨迹是 （ a.圆b.椭圆 c.双曲线d.抛物线。
4.已知定点p（x0，y0）不在直线l:f(x,y)=0上，则方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示一条（ ）a.
过点p且垂直于l的直线 b.过点p且平行于l的直线 c.不过点p但垂直于l的直线 d.
不过点p但平行于l的直线。
5.已知两定点a（-2，0），b（1，0）,如果动点p满足|pa|=2|pb|，则点p的轨迹所围成的图形的面积等于（ ）ab.4 c.8 d.9
三、题型分类深度剖析。
题型一：直接法求轨迹方程。
例1】如图所示，过点p（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于a，l2交y轴于b，求线段ab中点m的轨迹方程。
思维启迪：设m（x，y），则a、b两点坐标可用x,y表示，再利用· =0,建立等式即可。
**提高：（1）本题中的等量关系还有kpa·kpb=-1，|ab|=2|pm|.但利用kpa·kpb=-1时，应分直线斜率存在和不存在两种情况，应用|ab|=2|pm|时，运算较繁。
（2）求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉， 遗漏的点要补上。
知能迁移1：已知动点m到定点a(1,0)与定直线：x=3的距离之和等于4,求动点m的轨迹方程。
解如图所示，设m（x,y）是轨迹上任意一点，作mn⊥l于n. 则|ma|+|mn|=4，即=4-|x-3|. 当3≤x≤4时，=7-x.
即y2=-12(x-4) (3≤x≤4). 当0≤x≤3时，=x+1, 即y2=4x (0≤x≤3). m的轨迹方程是y2=-12(x-4) (3≤x≤4) 和y2=4x(0≤x≤3).
题型二：利用定义法求轨迹方程。
例2】一动圆与圆外切，同时与内切，求动圆圆心m的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
思维启迪：利用两圆的位置关系—相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再从关系分析满足何种曲线的定义。
解方法一如图所示，设动圆圆心为m（x，y），半径为r，设已知圆的圆心分别为o1、o2，将圆的方程分别配方得：（x+3）2+y2=4,(x-3)2+y2=100,当动圆与圆o1相外切时，有|o1m|=r+2. ①当动圆与圆o2相内切时，有|o2m|=10-r.
②将①②两式相加，得|o1m|+|o2m|=12＞|o1o2|，∴动圆圆心m（x,y）到点o1（-3,0）和o2（3,0）的距离和是常数12，所以点m的轨迹是焦点为o1（-3,0）、o2（3,0）,长轴长等于12的椭圆。∴2c=6，2a=12，∴c=3，a=6，∴b2=36-9=27，∴圆心轨迹方程为轨迹为椭圆。
方法二由方法一可得方程移项再两边分别平方得：两边再平方得3x2+4y2-108=0，整理得所以，动圆圆心的轨迹方程是轨迹是椭圆。
**提高在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程。
题型三相关点法(代入法)求轨迹方程【例3】（12分）已知p（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，a、b是圆上两动点，且满足∠apb=90°,求矩形apbq的顶点q的轨迹方程。思维启迪：连结qp交ab于r,则r是矩形apbq的中心。
因而可选r的坐标为中间变量，先求r的轨迹方程，再将q的坐标代入r的坐标中即可。
**提高相关点法也叫坐标转移（代入）法，是求轨迹方程常用的方法。其题目特征是：点a的运动与点b的运动相关，且点b的运动有规律（有方程），只需将a的坐标转移到b的坐标中，整理即可得a的轨迹方程。
知能迁移3 已知长为1+的线段ab的两个端点a、b分别在x轴、y轴上滑动，p是ab上一点，且=.求点p的轨迹c的方程。
例4】.如图所示，已知点c的坐标是（2，2），过点c的直线ca与x 轴交于点a,过点c且与直线ca垂直的直线cb与y轴交于点b.设点m是线段ab的中点，求点m的轨迹方程。
四、思想方法感悟提高：
方法与技巧1.弦长公式：直线y=kx+b与二次曲线c交于p1（x1,y1）与p2(x2,y2)得到的弦长为。
2.求轨迹的方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量（如距离与角）的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程。
（2）定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹（如直线与圆锥曲线）的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程。在判断轨迹符合哪一个基本轨迹时，常常用几何性质列出动点满足的距离关系后，可判断轨迹是否满足圆锥曲线的定义。
定义法与其它求轨迹方程的思维方法不同处在于：此方法通过曲线定义直接判断出所求曲线轨迹类型，再利用待定系数法求轨迹方程。（3）代入法（相关点法）：
当所求动点m是随着另一动点p（称之为相关点）而运动。如果相关点p所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或坐标代换法。
失误与防范1.求曲线方程时有已知曲线类型与未知曲线类型，一般当已知曲线类型时一般用待定系数法求方程；当未知曲线类型时常用求轨迹方程的方法求曲线方程。2.
求曲线轨迹方程时，常常要设曲线上任意一点的坐标为（x,y）,然后求x与y的关系。3.在求轨迹方程五种类型中，单从思维角度应该分为两个方面：
一是用定义法，（从已知曲线类型、或从距离关系中）能判断到曲线类型时，再用待定系数法求曲线方程；二是，当未知曲线类型时用其它四种方法求曲线方程。4.仔细区分五种求轨迹方法，合理确定要选择的求轨迹方法，哪些类型、哪些已知条件适合哪一种方法，要融会贯通，不可乱用方法！
课后练习。1.（2008·北京理，4）若点p到直线x=-1的距离比它到点（2,0）的距离小1,则点p的轨迹为（ ）
a.圆b.椭圆 c.双曲线 d.抛物线。
2.方程（x-y）2+(xy-1)2=0的曲线是a.一条直线和一条双曲线 b.两条双曲线 c.两个点 d.以上答案都不对。
3.已知定点a（1，1）和直线l:x+y-2=0，那么到定点a的距离和到定直线l距离相等的点的轨迹为（ ）a.
椭圆 b.双曲线 c.抛物线 d.
直线4.已知点a（-2,0）、b（3,0）,动点p（x，y）满足· =则点p的轨迹是（ ）a.圆 b.
椭圆 c.双曲线 d.抛物线。
5.如图所示，一圆形纸片的圆心为o，f是圆内一定点，m是圆周上一动点，把纸片折叠使m与f重合，然后抹平纸片，折痕为cd，设cd与om交于点p，则点p的轨迹是（ ）a.椭圆b.
双曲线 c.抛物线 d.圆
6.有一动圆p恒过定点f(a,0)（a＞0）且与y轴相交于点a、b，若△abp为正三角形，则点p的轨迹为a.直线b.圆c.椭圆d.双曲线。
二、填空题7.平面上有三个点a（-2，y），b ，c（x，y），若则动点c的轨迹方程是8.△abc中，a为动点，b、c为定点， 且满足条件。
sin c-sin b=sin a,则动点a的轨迹方程是9.已知△abc的顶点b（0，0），c（5，0），ab边上的中线长|cd|=3，则顶点a的轨迹方程为分别是直线y=x和y=x上的动点。o是坐标原点，且|oa|·|ob|=a2+b2 （a，b为常数值，b≠0）.
求线段ab的中点p的轨迹方程。
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一椭圆。考点阐述 椭圆及其标准方程 椭圆的简单几何性质 了解椭圆的参数方程 考试要求 1 掌握椭圆的定义 标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程 考题分类 一 选择题 共4题 1.福建卷文11 若点o和点f分别为椭圆的中心和左焦点，点p为椭圆上的任意一点，则的最大值为。a.2b.3c.6d...