圆锥曲线与方程

发布 2022-10-10 19:47:28 阅读 9030

龙文个性化辅导讲义。

2010 ~ 2011 学年第 2 学期)

任教科目: 数学。

授课题目:曲线与方程。

年级: 高二。

任课教师:谭老师。

龙文师资培训部编制。

主管签名教务长签名。

日期日期。龙文个性化辅导教案。

二、基础自测是点p(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件。

2.方程x2+xy=x的曲线是a.一个点 b.一条直线 c.两条直线 d.一个点和一条直线。

3.已知点a(-2,0)、b(3,0),动点p(x,y)满足,则点p的轨迹是 ( a.圆b.椭圆 c.双曲线d.抛物线。

4.已知定点p(x0,y0)不在直线l:f(x,y)=0上,则方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示一条( )a.

过点p且垂直于l的直线 b.过点p且平行于l的直线 c.不过点p但垂直于l的直线 d.

不过点p但平行于l的直线。

5.已知两定点a(-2,0),b(1,0),如果动点p满足|pa|=2|pb|,则点p的轨迹所围成的图形的面积等于( )ab.4 c.8 d.9

三、题型分类深度剖析。

题型一:直接法求轨迹方程。

例1】如图所示,过点p(2,4)作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于a,l2交y轴于b,求线段ab中点m的轨迹方程。

思维启迪:设m(x,y),则a、b两点坐标可用x,y表示,再利用· =0,建立等式即可。

**提高:(1)本题中的等量关系还有kpa·kpb=-1,|ab|=2|pm|.但利用kpa·kpb=-1时,应分直线斜率存在和不存在两种情况,应用|ab|=2|pm|时,运算较繁。

(2)求轨迹方程时,最后要注意它的完备性与纯粹性,多余的点要去掉, 遗漏的点要补上。

知能迁移1:已知动点m到定点a(1,0)与定直线:x=3的距离之和等于4,求动点m的轨迹方程。

解如图所示,设m(x,y)是轨迹上任意一点,作mn⊥l于n. 则|ma|+|mn|=4,即=4-|x-3|. 当3≤x≤4时,=7-x.

即y2=-12(x-4) (3≤x≤4). 当0≤x≤3时,=x+1, 即y2=4x (0≤x≤3). m的轨迹方程是y2=-12(x-4) (3≤x≤4) 和y2=4x(0≤x≤3).

题型二:利用定义法求轨迹方程。

例2】一动圆与圆外切,同时与内切,求动圆圆心m的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。

思维启迪:利用两圆的位置关系—相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系,再从关系分析满足何种曲线的定义。

解方法一如图所示,设动圆圆心为m(x,y),半径为r,设已知圆的圆心分别为o1、o2,将圆的方程分别配方得:(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100,当动圆与圆o1相外切时,有|o1m|=r+2. ①当动圆与圆o2相内切时,有|o2m|=10-r.

②将①②两式相加,得|o1m|+|o2m|=12>|o1o2|,∴动圆圆心m(x,y)到点o1(-3,0)和o2(3,0)的距离和是常数12,所以点m的轨迹是焦点为o1(-3,0)、o2(3,0),长轴长等于12的椭圆。∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6,∴b2=36-9=27,∴圆心轨迹方程为轨迹为椭圆。

方法二由方法一可得方程移项再两边分别平方得:两边再平方得3x2+4y2-108=0,整理得所以,动圆圆心的轨迹方程是轨迹是椭圆。

**提高在利用圆锥曲线定义求轨迹时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程,若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹,则利用圆锥曲线的定义列出等式,化简求得方程。

题型三相关点法(代入法)求轨迹方程【例3】(12分)已知p(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,a、b是圆上两动点,且满足∠apb=90°,求矩形apbq的顶点q的轨迹方程。思维启迪:连结qp交ab于r,则r是矩形apbq的中心。

因而可选r的坐标为中间变量,先求r的轨迹方程,再将q的坐标代入r的坐标中即可。

**提高相关点法也叫坐标转移(代入)法,是求轨迹方程常用的方法。其题目特征是:点a的运动与点b的运动相关,且点b的运动有规律(有方程),只需将a的坐标转移到b的坐标中,整理即可得a的轨迹方程。

知能迁移3 已知长为1+的线段ab的两个端点a、b分别在x轴、y轴上滑动,p是ab上一点,且=.求点p的轨迹c的方程。

例4】.如图所示,已知点c的坐标是(2,2),过点c的直线ca与x 轴交于点a,过点c且与直线ca垂直的直线cb与y轴交于点b.设点m是线段ab的中点,求点m的轨迹方程。

四、思想方法感悟提高:

方法与技巧1.弦长公式:直线y=kx+b与二次曲线c交于p1(x1,y1)与p2(x2,y2)得到的弦长为。

2.求轨迹的方法(1)直接法:如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程。

(2)定义法:其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线与圆锥曲线)的定义,则可根据定义采用设方程,求方程系数得到动点的轨迹方程。在判断轨迹符合哪一个基本轨迹时,常常用几何性质列出动点满足的距离关系后,可判断轨迹是否满足圆锥曲线的定义。

定义法与其它求轨迹方程的思维方法不同处在于:此方法通过曲线定义直接判断出所求曲线轨迹类型,再利用待定系数法求轨迹方程。(3)代入法(相关点法):

当所求动点m是随着另一动点p(称之为相关点)而运动。如果相关点p所满足某一曲线方程,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,再把相关点代入曲线方程,就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法叫做相关点法或坐标代换法。

失误与防范1.求曲线方程时有已知曲线类型与未知曲线类型,一般当已知曲线类型时一般用待定系数法求方程;当未知曲线类型时常用求轨迹方程的方法求曲线方程。2.

求曲线轨迹方程时,常常要设曲线上任意一点的坐标为(x,y),然后求x与y的关系。3.在求轨迹方程五种类型中,单从思维角度应该分为两个方面:

一是用定义法,(从已知曲线类型、或从距离关系中)能判断到曲线类型时,再用待定系数法求曲线方程;二是,当未知曲线类型时用其它四种方法求曲线方程。4.仔细区分五种求轨迹方法,合理确定要选择的求轨迹方法,哪些类型、哪些已知条件适合哪一种方法,要融会贯通,不可乱用方法!

课后练习。1.(2008·北京理,4)若点p到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点p的轨迹为( )

a.圆b.椭圆 c.双曲线 d.抛物线。

2.方程(x-y)2+(xy-1)2=0的曲线是a.一条直线和一条双曲线 b.两条双曲线 c.两个点 d.以上答案都不对。

3.已知定点a(1,1)和直线l:x+y-2=0,那么到定点a的距离和到定直线l距离相等的点的轨迹为( )a.

椭圆 b.双曲线 c.抛物线 d.

直线4.已知点a(-2,0)、b(3,0),动点p(x,y)满足· =则点p的轨迹是( )a.圆 b.

椭圆 c.双曲线 d.抛物线。

5.如图所示,一圆形纸片的圆心为o,f是圆内一定点,m是圆周上一动点,把纸片折叠使m与f重合,然后抹平纸片,折痕为cd,设cd与om交于点p,则点p的轨迹是( )a.椭圆b.

双曲线 c.抛物线 d.圆

6.有一动圆p恒过定点f(a,0)(a>0)且与y轴相交于点a、b,若△abp为正三角形,则点p的轨迹为a.直线b.圆c.椭圆d.双曲线。

二、填空题7.平面上有三个点a(-2,y),b ,c(x,y),若则动点c的轨迹方程是8.△abc中,a为动点,b、c为定点, 且满足条件。

sin c-sin b=sin a,则动点a的轨迹方程是9.已知△abc的顶点b(0,0),c(5,0),ab边上的中线长|cd|=3,则顶点a的轨迹方程为分别是直线y=x和y=x上的动点。o是坐标原点,且|oa|·|ob|=a2+b2 (a,b为常数值,b≠0).

求线段ab的中点p的轨迹方程。

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