1．曲线方程。
1定义法。（1）(2024年高考广东卷第19题（理）) 设圆c与两圆中的一个内切，另一个外切。求圆c的圆心轨迹l的方程；
解：（1）两圆半径都为2，设圆c的半径为r，两圆心为、，由题意得或，可知圆心c的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则。
所以轨迹l的方程为．
2待定系数法。
2）已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程。
3 方程法。
3）(2024年高考广东卷第21小题（理）) 在平面直角坐标系中，直线轴于点，设是上一点，是线段的垂直平分线上的一点，且满足当点在上与动时，求点的轨迹的方程；
解：（1）如图1，设mq为线段op的垂直平分线，交op于点q，因此即 ①
另一种情况，见图2（即点m和a位于直线op的同侧）。
mq为线段op的垂直平分线，
又。因此m在轴上，此时，记m的坐标为。
为分析的变化范围，设为上任意点。
由 （即）得，
故的轨迹方程为。
综合①和②得，点m轨迹e的方程为
二离心率。1 找等量关系，求出。
1若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等级差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
abcd 2 已知椭圆短轴上两个顶点分别为，，焦点为，，若四边形是正方形，则这个椭圆的离心率等于（ ）
a b cd
2 利用椭圆焦点三角形面积。
3 若椭圆（）上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
3 利用双曲线焦半径最小值。
4 已知双曲线（）的左、右焦点分别为若双曲线存在点使，则双曲线的离心率的取值范围是---
三焦点三角形（边长与周长，角度与面积）
方法：余弦定理，基本不等式，1（2013内蒙古高三摸底考试）设双曲线的两个焦点为，，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
a b c d
2（06年四川）如图把椭圆的长轴分成8等分，过每个点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点。是椭圆的一个焦点，则。
3（2000全国）椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是。
4 是椭圆上的点，是椭圆的焦点，若，则的面积等于。
四双曲线的渐近线。
1 （2013福建省三明市高中毕业班质检）过双曲线（）的左焦点f作圆o：的两条切线，切点为a，b，双曲线左顶点为c，若，则双曲线的渐近线方程为。
2已知双曲线的两条渐近线与以椭圆的左焦点为圆心、为半径的圆相切，则渐近线方程为。
五直线与圆锥曲线。
1）直线斜率问题。
1 是椭圆的左右顶点，动点在椭圆上，直线的斜率范围为，求直线的范围。
2 （2010山东理）如图，已知椭圆的离心率。
为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点。
为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线。
的顶点是该椭圆的焦点，设p为该双曲线上异于项点。
的任一点，直线和与椭圆的交点分别为a、
b和c、d.
（ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明：；
（ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查坐标第、定值和存在性问题，考查数形结合思想和探求问题的能力。
解：（ⅰ设椭圆的半焦距为，由题意知。
所以。又，因此。
故椭圆的标准方程为。
由题意设等轴双曲线的标准方程为，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以。
因此双曲线的标准方程为。
（ⅱ）设。则。
因为点p在双曲线上，所以。因此。即。
（ⅲ）由于pf1的方程为，将其代入椭圆方程得。
由违达定理得。
所以。同理可得。则。又。
所以。故。
因此，存在，使恒成立。
2）直线与圆锥曲线相离。
椭圆上点到直线的最短距离。
3）直线与圆锥曲线相切。
2024年高考广东卷第20小题（文科）)（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在上．
1） 求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆和抛物线相切，求直线的方程．
解：(1):依题意：c=11分。
则2分。设椭圆方程为3分。
将点坐标代入，解得4分。
所以 故椭圆方程为5分。
2）设所求切线的方程为6分。
消除y……7分。
化简得：8分。
同理：联立直线方程和抛物线的方程得：
消除y得：9分。
化简得：10分。
将②代入①解得：
解得： 12分。
故切线方程为14分。
2（2012辽宁文）已知p,q为抛物线x2=2y上两点，点p,q的横坐标分别为4， 2，过p,q分别作抛物线的切线，两切线交于点a，则点a的纵坐标为。
a． 1b． 3c． 4d． 8
3（2013辽理）如图，抛物线。
4）直线与圆锥曲线相交（相交弦，韦达定理）
1设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。
1）求的离心率；
（2） 设点满足，求的方程。
解：i）由椭圆定义知，又，得。
的方程为，其中。
设，，则a、b两点坐标满足方程组。
化简的。则。
因为直线ab斜率为1，所以。
得故。所以e的离心率。
ii）设ab的中点为，由（i）知。
由，得，即。
得，从而。故椭圆e的方程为。
2（2024年山西省山大附中高三9月月考）是抛物线上相异两点，q，p到轴的距离的积为4，且。
1）求抛物线的标准方程。
2）过q的直线与抛物线的另一交点为r，与x轴的交点为t ，且q为线段rt的中点，试求弦pr长度的最小值。
5）焦点弦。
1（2014江西师大附中高三开学考试）抛物线的焦点为f，已知点a，b为抛物线上的两个动点，且满足，过弦ab的中点m作抛物线准线的垂线mn，垂足为n，则的最大值为。
2（2024年江西文）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且．
1）求该抛物线的方程；
2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．
解析：（1）直线ab的方程是
所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，抛物线方程为：
2）、由p=4，化简得，从而，从而a:(1,),b(4,)
设=，又，即8（4），即，解得。
3 若抛物线的焦点为f，过f且斜率为1的直线交抛物线于a，b两点，动点p在曲线上，则的面积的最小值为---
六定点、定值问题（两种方法：方程组或不等式，特殊情况法）
1（2013河北省唐山市高三年级摸底考试）已知点m是椭圆c：（）上一点，，分别为c的左、右焦点，且，，的面积为。
1）求椭圆c的过程；
2）设，过点p（1，-2）作直线，交椭圆c异于n的a，b两点，直线na，nb的斜率分别为，证明：为定值。
2（2012福建文）如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上。
i）求抛物线的方程；
ii）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点。证明以为直径的圆恒过轴上某定点。
本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．满分12分。
解法一：1） 依题意=，
设b（x,y），则x=sin30。=，y=cos30。=12
因为点b（，12）在x2=2py上，所以=2p*12，所以p=2
所以抛物线e的方程为
2)由（1）知，y’=x.
设 p（x0,y0）,则x00，并且l的方程为，即。
由，得。所以。
设，令对满足的，恒成立。
由于， 由于，得。
即（ （由于（*）对满足的恒成立，所以。
解得故以pq为直径的预案横过y轴上的定点m（0，1）
解法二 1） 同解法一。
2） 由（1）知，y’=x，设p（x0,y0），则，且l的直线方程为，即。
由得，，所以。
取=2，此时p(2,1),q(0,-1),以pq为直径的圆为，交y轴于点（0,1）或（0，-1）；取=1，此时p（1，），q（，-1），以pq为直径的圆为，交y轴于（0,1）或，（0，）
故若满足条件得点m存在，只能是（0,1）。
以下证明点（0,1）就是所要求的点。
因为， 故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m
3（2013江苏扬州中学高三检测）已知椭圆c：的上，下顶点分别为a，b，点p在椭圆上，且异于点a，b，直线ap，bp与直线：分别交于点m，n。
1）设直线ap，bp的斜率分别为，求证：为定值。
2）求线段mn长的最小值。
3）当点p运动时，以mn为直径的圆是否经过某定点？，请证明你的结论。
七最值问题。
1）抛物线中的最值问题。
1 定义转换法。
1）已知抛物线的方程为，f是焦点，点a（-2，4），在此抛物线上求一点p，使的值最小。
2）已知点p是抛物线上的动点，b（-1，1），点p到直线：的距离为，求的最小值。
2 平移直线法。
抛物线上的点到直线的距离的最小值是。
3 函数法。
若点p在抛物线上，点q在圆上，则的最小值为
八设而不求中点差法的应用。
1 点差法在椭圆中的应用。
求焦点是f，并截直线所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程。
2 点差法在双曲线中的应用。
若直线平分双曲线中斜率为1的弦，求的取值班范围。
3 占差法在抛物线中的应用。
已知点q是抛物线上异于坐标原点o的点，过点q与抛物线相切的两条直线分别交抛物线于点a，b。
1）若点q的坐标为（1，-6），求直线ab的方程及弦ab的长；
2）判断直线ab与抛物线的位置关系，并说明理由。
九圆锥曲线中对称问题。
方法：方程法与点差法。
1已知椭圆c的方程为，试确定的取值范围，使得椭圆c上有不同两点关于直线：对称。
圆锥曲线题型
主要方法 1 定义法 2 韦达定理法 3 数形结合法 4 代入法。第一部分椭圆。1 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程 分析 本题考查直线与椭圆的位置关系问题 通常将直线方程与椭圆方程联立消去 或 得到关于 或 的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出，或，的值代入计算即得 并不需...
圆锥曲线题型
一定点，定值。在解析几何中，有此几何量如斜率 距离 面积 比值及基本几何量和变量无关，这类问题统称为定值问题。定点 定值问题的解法同证明题类似，在求定点 定值之前，已经知道定点 定值的结果 题中未告知，可用特征值探路求之 解答这类问题首先要大胆设参，运算推理到最后参数必消，定点 定值显露。1 201...
圆锥曲线题型汇总
经典模拟 演练卷。一 填空题。1 2015 南通 泰州调研 双曲线 1 m 0 的离心率为，则m等于 2 2015 河南名校联考 过点 3，1 作圆 x 1 2 y2 1的两条切线，切点分别为a，b，则直线ab的方程为 3 2015 广州模拟 若圆c经过 1，0 3，0 两点，且与y轴相切，则圆c的...