圆锥曲线离心率题型

发布 2022-10-10 22:36:28 阅读 3143

圆锥曲线的离心率题型解析。

华中师大一附中博乐分校 833400 刘族刚朱新婉。

圆锥曲线的的离心率是反映圆锥曲线几何特征(扁平或开阔程度)的一个数量,是圆锥曲线的重要几何性质,也是圆锥曲线“统一定义”的纽带,在全国各地历年高考命题中,有关圆锥曲线离心率的试题屡见不鲜,因而掌握圆锥曲线离心率的概念、题型与求解方法,不仅是巩固基础知识、领悟数形结合思想及学好解析几何的需要,也完全符合“备考从高一高二开始抓”的教育理念。本文以离心率的内容为主体,以题型解析为载体,小结出求解离心率问题的策略和方法,希望对大家的解题有所帮助。

类型一:离心率的定义。

例1 (2014湖北卷) 已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )

分析:既是椭圆的焦点三角形,也是双曲线的焦点三角形,因为焦点三角形中的边长蕴含离心率所需的“”,所以利用圆锥曲线定义、离心率的定义是解答本题的切入点。

解析:不妨设,椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,椭圆、双曲线的离心率分别为,则由椭圆、双曲线的定义,得,平方得。

又由余弦定理得。

由消去得,即。

再据平面向量不等式的坐标表示得。

所以。故选。

评注:圆锥曲线的离心率的定义是解决离心率问题的基础,值得注意的是,椭圆离心率;抛物线的离心率;双曲线的离心率。

类型二:离心率的几何意义。

例2 已知双曲线的离心率为,若直线与曲线的左右支各一个交点,求的取值范围。

分析:双曲线离心率决定了双曲线的分布与形状,另外直线中的几何意义明显(直线陡峭程度),故本题可用数形结合求解。

解析:由双曲线的离心率为,可得,依离心率的几何意义,双曲线的两支应夹在两渐近线之间且无限接近(如图),要使过点且斜率为的直线与曲线的左右支各一个交点,直线必须绕在两直线之间转动,所以。

评注:离心率是圆锥曲线的特征数,它确定了圆锥曲线形状、分布等(做双曲线先画渐近线),借助这一几何意义,往往为“数形结合”解题带来便利。聪明的读者,在什么范围时,直线与双曲线的右支(或左支)有两个交点呢?

类型三:求离心率的值。

例3 设双曲线的半焦距为,直线过两点,若原点到直线的距离为,求双曲线的离心率。

分析:求圆锥曲线的离心率,一般要根据已知条件(如等量关系、几何图形的特征等)建立关于的等量关系式,进而转化为关于的方程求解。

解析:∵直线过两点,∴直线的方程为,即,因为原点到直线的距离为,所以,则,又因为且离心率,所以,则或,因为,所以,即或(舍).

评注:有没有注意到条件,涉及到最终答案的取舍,也是能不能准确求解本题的关键。

类型四:求离心率的范围。

例4(2016浙江)如图,设椭圆。

ⅰ)求直线被椭圆截得到的弦长(用表示);

ⅱ)若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆离心率的取值范围。

分析:求圆锥曲线的离心率取值范围,就是列出关于的不等关系,再解不等式。

解析:(i)设直线被椭圆截得的线段为,由得。

故,.因此.

ii)假设圆与椭圆的公共点有个,由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点满足.记直线的斜率分别为,且.

由(i)知,故,所以,由于,得,因此。

因为,所以关于的方程有解的充要条件是,则.因此,任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为,则.

评注:一般地,建立关于的不等式的方法主要有:利用题设指定条件、圆锥曲线的定义、圆锥曲线的方程(如参数方程)、圆锥曲线的性质(如范围)、二次方程的判别式、不等式等.

类型五: 与离心率有关的定值。

例5(2014江西)如图,已知双曲线的右焦点,点分别在曲线的两条渐近线上,轴, (为坐标原点).(1)求双曲线的方程;

2)过曲线上一点的直线与直线相交于点,与直线相交于点,证明点在曲线上移动时,恒为定值,并求此定值。

分析:本题第二问的位置不影响的值,宜采用直接证明法,即先求出的坐标,用距离公式代入检验即可。值得提醒的是直线为双曲线过点的的切线,而直线为双曲线的一条“准线”.

解析:(1)设,因为,所以。

直线方程为,直线bf的方程为,解得,又直线的方程为,则,.

又因为,所以,解得,故双曲线的方程为。

2)由(1)知,则直线的方程为,即,因为直线的方程为,所以直线与的交点,直线与直线的交点为,则,因为是上一点,则,代入上式得,则所求定值为。

评注:与圆锥曲线离心率有关的定值问题有很多,其中教材有经典例题,那就是圆锥曲线的“统一定义”.依据统一定义可得:

椭圆上任意一点到右焦点(或左)的距离与到直线(右准线)(或(左准线))的距离之比为椭圆离心率;双曲线上任意一点到右焦点(或左)的距离与到直线(右准线)(或(左准线))的距离之比为离心率。

圆锥曲线的离心率问题是数学中的一类典型问题,一般要涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点,往往综合性强且方法灵活,从上可以看出,解决圆锥曲线离心率问题,定义是基础、运算是关键、建立关于间的关系(等或不等)是解题突破口。只有审清题意,认真推演,才能准确作答。

应对训练。1、(2016天津)设椭圆的右焦点为,右顶点为。已知,其中为原点,为椭圆的离心率。 求椭圆的方程。

2、(2016山东)已知双曲线,若矩形的四个顶点在上,的中点为的两个焦点,且,则的离心率是___

3、已知斜率为的直线与双曲线相交于两点,且的中点为,求双曲线的离心率。

4、 设为椭圆的两焦点,若上存在点,使得,求椭圆离心率的范围。

5 如图,在等腰梯形中,,且,设,以为焦点,且过的双曲线的离心率为,以为焦点,且过的椭圆的离心率为,则( )

a)随着的增大,增大,为定值 (b)随着的增大,减小,为定值。

c)随着的增大,增大,为增大 (d)随着的增大,减小,为减小。参***。

圆锥曲线离心率

1.存在两条直线 与双曲线 1 a 0,b 0 相交于a b c d四点,若四边形abcd为正方形,则其离心率为 c 1cd.2.f1 f2双曲线 1 a 0,b 0 的左右焦点,以 o为圆心,of1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为p,则当pf1f2的面积为a2时,离心率等于 a abcd.2 ...

圆锥曲线离心率问题

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