攻克圆锥曲线解答题的策略

摘要：为帮助同学们学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。

关键词：知识储备方法储备思维训练强化训练。

第。一、知识储备：

1. 直线方程的形式。

1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

2）与直线相关的重要内容。

倾斜角与斜率。

点到直线的距离 ③夹角公式：

3）弦长公式。

直线上两点间的距离：

或。4）两条直线的位置关系。

2、圆锥曲线方程及性质。

1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

标准方程：距离式方程：

参数方程：2)、双曲线的方程的形式有两种。

标准方程：距离式方程：

3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？

如：已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点m满足则动点m的轨迹是（）

a、双曲线； b、双曲线的一支； c、两条射线； d、一条射线。

5)、焦点三角形面积公式：

其中）6)、记住焦半径公式：（1），可简记为“左加右减，上加下减”。

6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？

第。二、方法储备。

1、点差法（中点弦问题）

设、，为椭圆的弦中点则有。

；两式相减得。

2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元···若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点a、b、f共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。

例1、已知三角形abc的三个顶点均在椭圆上，且点a是椭圆短轴的一个端点（点a在y轴正半轴上）.

1）若三角形abc的重心是椭圆的右焦点，试求直线bc的方程；

2）若角a为，ad垂直bc于d，试求点d的轨迹方程。

分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦bc的斜率，从而写出直线bc的方程。第二问抓住角a为可得出ab⊥ac，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点d的轨迹方程；

解：（1）设b（,）c(,)bc中点为(),f(2,0)

则有两式作差有

f(2,0)为三角形重心，所以由，得由得，代入（1）得直线bc的方程为。

2)由ab⊥ac得（2）

设直线bc方程为，得。

代入（2）式得。

解得或直线过定点（0，，设d（x,y）

则即。所以所求点d的轨迹方程是。

4、设而不求法。

例2、如图，已知梯形abcd中，点e分有向线段所成的比为，双曲线过c、d、e三点，且以a、b为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。

分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系，如图，若设c，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难。

我们对可采取设而不求的解题策略，建立目标函数，整理，化繁为简。

解法一：如图，以ab为垂直平分线为轴，直线ab为轴，建立直角坐标系，则cd⊥轴因为双曲线经过点c、d，且以a、b为焦点，由双曲线的对称性知c、d关于轴对称

依题意，记a，c，e，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高由定比分点坐标公式得

设双曲线的方程为，则离心率。

由点c、e在双曲线上，将点c、e的坐标和代入双曲线方程得。

由①式得。将③式代入②式，整理得，故。

由题设得，解得

分析：考虑为焦半径，可用焦半径公式，用的横坐标表示，回避的计算，达到设而不求的解题策略．

解法二：建系同解法一，又，代入整理，由题设得，解得。

5、判别式法。

例3已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点b到直线的距离为，试求的值及此时点b的坐标。

分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段。从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：

过点b作与平行的直线，必与双曲线c相切。而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式。由此出发，可设计如下解题思路：

解题过程略。

分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点b到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解。据此设计出如下解题思路：

简解：设点为双曲线c上支上任一点，则点m到直线的距离为：

于是，问题即可转化为如上关于的方程。

由于，所以，从而有。

于是关于的方程。

由可知：方程的二根同正，故恒成立，于是等价于。

由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .

点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性。

例4已知椭圆c:和点p（4，1），过p作直线交椭圆于a、b两点，**段ab上取点q，使，求动点q的轨迹所在曲线的方程。

分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解。

因此，首先是选定参数，然后想方设法将点q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的。

由于点的变化是由直线ab的变化引起的，自然可选择直线ab的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点q在直线ab上；另一方面就是运用题目条件：来转化。

由a、b、p、q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线ab的方程代入椭圆c的方程，利用韦达定理即可。

通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数。

在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。

简解：设，则由可得：，解之得1）

设直线ab的方程为：，代入椭圆c的方程，消去得出关于 x的一元二次方程：

代入（1），化简得3)

与联立，消去得：

在（2）中，由，解得，结合（3）可求得

故知点q的轨迹方程为：（

点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到。这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参。

，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道。

6、求根公式法。

例5设直线过点p（0，3），和椭圆顺次交于a、b两点，试求的取值范围。

分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展，问题的根源在于对题目的整体把握不够。

事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系。

分析1: 从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线ab的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出。

简解1：当直线垂直于x轴时，可求得；

当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得解之得

因为椭圆关于y轴对称，点p在y轴上，所以只需考虑的情形。

当时，所以 ==

由 , 解得，所以，综上 .

分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源。

由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来。一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式。原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式。

简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得。

则令，则，在（*）中，由判别式可得，从而有，所以，解得 .结合得。

综上，.点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等。本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法。

解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里。

第。三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。

以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。

例6椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，．（求椭圆的标准方程；

ⅱ）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。

攻克圆锥曲线解答题的策略

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圆锥曲线解答题

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