（20）（2014辽宁理20，本小题满分12分）
圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为p（如图），双曲线过点p且离心率为．
i）求的方程；
ii）椭圆过点p且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于a，b两点，若以线段ab为直径的圆过点p，求的方程．
解：（ⅰ设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为。
由知当且仅当时有最大值，即s有最小值，因此点p得坐标为，由题意知解得，故方程为。
ⅱ）由（ⅰ）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中。
由在上，得，解得b12=3，因此c2方程为。
显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点。
由得，又是方程的根，因此，由。
得。因由题意知，所以，将①，②代入⑤式整理得，解得或，因。
此直线l的方程为，或。
20）（2014全国1卷理20，本小题满分12分）
已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点。
i）求的方程；
ii）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程。
解： （由已知得
ⅱ）当直线垂直于x轴时，不存在。
令直线的方程为与联立消去y，有：
令 整理得，令点o到直线l的距离为d,则
所以的面积，令。
此时直线l的方程为或。
20）（2014全国2卷理20，本小题满分12分）
设分别是椭圆（）的左右焦点，m是c上一点且与轴垂直，直线与c的另一个交点为n．
ⅰ）若直线mn的斜率为，求c的离心率；
ⅱ）若直线mn在轴上的截距为2，且，求．
解：（ⅰ根据及题设知， ．
将代入，解得，（舍去）．
故c的离心率为．
ⅱ）由题意，原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即．
由，得．设，由题意知，则。
即。代入c的方程，得．
将即代入，得．
解得， ，故， ．
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