第八节圆锥曲线的综合应用。
一、基本知识概要:1知识精讲:
圆锥曲线的综合问题包括:解析法的应用,数形结合的思想,与圆锥曲线有关的定值、最值等问题,主要沿着两条主线,即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合,灵活运用解析几何的常用方法,解决圆锥曲线的综合问题;通过问题的解决,进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。
2重点难点:正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题,从中进一步体会分类讨论、等价转化等数学思想的运用。
3思维方式:数形结合的思想,等价转化,分类讨论,函数与方程思想等。
4特别注意:要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结果的完整。二、例题:
例是抛物线上的两点,且oa(o为坐标原点)求证:(1)a,b两点的横坐标之积,纵坐标之积分别是定植;(2)直线ab经过一个定点证明:(1)设两式相乘得。
所以直线ab过定点(2p,0)
例2、(2023年春季北京,18)如图,o为坐标原点,直线在轴和轴上的截距分别是和,且交抛物线两点。(1)写出直线的截距式方程(2)证明:
3)当时,求的大小。(图见教材p135页例1)解:(1)直线的截距式方程为。(1)(2)、由(1)及消去可得(2)点m,n的坐标为(2)的两个根。故所以。
3)、设直线om、on的斜率分别为当时,由(2)知,因此。
说明:本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。
例3、(2023年黄冈高三调研考题)已知椭圆c的方程为,双曲线的两条渐近线为,过椭圆c的右焦点f作直线,使,又与交于p点,设与椭圆c的两个交点由上而下依次为a、b。(图见教材p135页例2)(1)当夹角为,双曲线的焦距为4时,求椭圆c的方程(2)当时,求的最大值。
解:(1)双曲线的渐近线为,两渐近线的夹角为,又,3)由已知。
由得,将a点坐标代入椭圆方程得。
说明:本题考查了椭圆、双曲线的基础知识,及向量、定比分点公式、重要不等式的应用。解决本题的难点是通过恒等变形,利用重要不等式解决问题的思想。
本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题。
例4、a,f分别是椭圆的一个上顶点与上焦点,位于x轴的正半轴上的动点t(t,0)与f的连线交射线oa于q,求:(1)点a,f的坐标及直线tq的方程;
2)三角形otq的面积s与t的函数关系式及该函数的最小值(3)写出该函数的单调递增区间,并证明。解:(1)由题意得a(1,3),f(1,1)直线tq得方程为x+(t-1)y-t=0(2)射线oa的方程y=3x所以s(t)的最小值为(3)s(t)在上是增函数所以该函数在。
三、课堂小结:
1、解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征,熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系,再结合代数等知识来解。2、对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性。
质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解四。作业:教材p136闯关训练。
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