2019届高考数学圆锥曲线的应用

第六节圆锥曲线的应用。

一、基本知识概要：

解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用常用方法。本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。

二、例题：例1、设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距万千米和万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为，求该慧星与地球的最近距离。

解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点处，椭圆的方程为（图见教材p132页例1）。

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星a只能满足。作。

故由椭圆第二定义可知得。

两式相减得。

答：彗星与地球的最近距离为万千米。

说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是，另一个是。

2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。

思考讨论：椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少？怎样证明？

例2：a，b，c是我方三个炮兵阵地，a在b正东6，c在b正北偏西，相距4，p为敌炮阵地，某时刻a处发现敌炮阵地的某种信号，由于b，c两地比a距p地远，因此4后，b，c才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1，a若炮击p地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书p249例2）

解：如图，以直线ba为轴，线段ba的中垂线为轴建立坐标系，则，因为，所以点p**段bc的垂直平分线上。

因为，bc中点，所以直线pd的方程为（1）

又故p在以a，b为焦点的双曲线右支上。设，则双曲线方程为（2）。联立（1）（2），得，所以因此，故炮击的方位角北偏东。

说明：本题的关键是确定p点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。

例3：根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3m，宽1.6m。

现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持中线0.4m的距离行驶。已知拱口ab宽恰好是拱高oc的4倍，若拱宽为am，求能使卡车安全通过的a的最小整数值。

（图见教材p133页例3）

解：如图，以拱口ab所在直线为x轴，以拱高oc所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意可得抛物线的方程为，在抛物线上，抛物线方程为。取代入抛物线方程，得。

由题意，令。

答：满足本题条件卡车使安全通过的a的最小正整数为14m.

说明：本题的解题过程可归纳务两歩：一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2m处y的值；二是由通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的。

三、小结：四、作业：教材p133闯关训练。