2019届高考数学圆锥曲线的综合问题

第八节圆锥曲线的综合应用。

一、基本知识概要：

1知识精讲：

圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题，主要沿着两条主线，即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合，灵活运用解析几何的常用方法，解决圆锥曲线的综合问题；通过问题的解决，进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。

2重点难点：正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题，从中进一步体会分类讨论、等价转化等数学思想的运用。

3思维方式：数形结合的思想，等价转化，分类讨论，函数与方程思想等。

4特别注意：要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整。

二、例题：例1. a，b是抛物线上的两点，且oa（o为坐标原点）求证：

1）a，b两点的横坐标之积，纵坐标之积分别是定植；

2）直线ab经过一个定点。

证明：（1）设。

两式相乘得。

所以直线ab过定点(2p,0)

例2、（2024年春季北京，18）如图，o为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线两点。

1） 写出直线的截距式方程。

2） 证明：

3） 当时，求的大小。（图见教材p135页例1）

解：（1）直线的截距式方程为。 （1）

2）、由（1）及消去可得 （2）

点m，n的坐标为（2）的两个根。故。

所以。3）、设直线om、on的斜率分别为。

当时，由（2）知，

因此。说明：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。

例3、（2024年黄冈高三调研考题）已知椭圆c的方程为，双曲线的两条渐近线为，过椭圆c的右焦点f作直线，使，又与交于p点，设与椭圆c的两个交点由上而下依次为a、b。（图见教材p135页例2）

1） 当夹角为，双曲线的焦距为4时，求椭圆c的方程。

2） 当时，求的最大值。

解：（1）双曲线的渐近线为，两渐近线的夹角为，又，3） 由已知。

由得，将a点坐标代入椭圆方程得。

说明：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用。解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想。

本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题。

例4、a，f分别是椭圆的一个上顶点与上焦点，位于x轴的正半轴上的动点t（t,0）与f的连线交射线oa于q，求：

1） 点a，f的坐标及直线tq的方程；

2） 三角形otq的面积s与t的函数关系式及该函数的最小值。

3） 写出该函数的单调递增区间，并证明。

解：(1)由题意得a(1,3),f(1,1)

直线tq得方程为x+(t-1)y-t=0

2)射线oa的方程y=3x

所以s(t)的最小值为。

3)s(t)在上是增函数。

所以该函数在。

三、课堂小结：

1、解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系，再结合代数等知识来解。

2、对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解。

四。作业： 教材p136闯关训练。

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